Satz des Pythagoras einfach erklärt (mit Beispielen)

Im Frühjahr hat mein Ältester, damals in der 9. Klasse am Gymnasium, ein ganzes Arbeitsblatt zum Satz des Pythagoras fehlerfrei gerechnet. Saubere Rechnung, saubere Wurzeln. Dann habe ich ihn gefragt, warum man die Quadrate eigentlich addiert. Stille. Er kannte das Verfahren und hatte keine Ahnung, was es tut. Bei der nächsten Arbeit stand statt eines nackten Dreiecks eine Leiter an einer Hauswand, und das Verfahren kippte um.

Der Satz des Pythagoras besagt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten. Als Formel a² + b² = c², wobei c die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist. Damit berechnest du eine fehlende Länge, und mit dem Kehrsatz beweist du, dass eine Ecke ein rechter Winkel ist.

Die Idee hinter der Formel: Quadrate, keine Längen

Das Wort, auf das es ankommt, ist „Quadrat“. Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor und zeichne über jede der drei Seiten ein echtes Quadrat, so breit wie die Seite selbst. Das Quadrat über der Hypotenuse hat genau den gleichen Flächeninhalt wie die beiden anderen zusammen. Mehr steckt nicht dahinter. a² ist eine Fläche, die du mit dem Buntstift ausmalen kannst, keine abstrakte Zahl.

Zeichne das einmal auf Karopapier, mit dem 3-4-5-Dreieck: ein Quadrat aus 9 Kästchen, eines aus 16, eines aus 25. 9 + 16 = 25. Du kannst es abzählen, und die Formel ist kein Zauberspruch mehr, den man aufsagt.

Ein Wort zur Geschichte, weil in jeder Klasse jemand danach fragt. Pythagoras hat die Beziehung wahrscheinlich nicht entdeckt. Auf einer babylonischen Tontafel namens Plimpton 322 (um 1800 v. Chr., heute an der Columbia University) stehen Zahlentripel, die sie erfüllen. Der älteste erhaltene schriftliche Beweis stammt von Euklid, in den Elementen, Buch I, Satz 47.

Drei Beispiele, vom einfachsten zum nützlichsten

Beispiel 1: Die Hypotenuse gesucht

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 6 cm und 8 cm. Gesucht ist c.

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also c = √100 = 10 cm.

Wer die Hypotenuse sucht, addiert. Und 10 ist größer als 6 und als 8, genau wie es sein muss.

Beispiel 2: Eine Kathete gesucht

Die Hypotenuse ist 13 cm lang, eine Kathete 5 cm. Gesucht ist die andere Kathete b.

b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, also b = √144 = 12 cm.

Diesmal wird subtrahiert, weil die Hypotenuse das größte Quadrat trägt und die beiden anderen zusammen genau darauf kommen müssen. Das hier zu verwechseln ist der häufigste Fehler überhaupt, dazu gleich mehr.

Beispiel 3: Die Leiter an der Wand

Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Wand, der Fuß steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?

Die Leiter ist die Hypotenuse, sie liegt dem rechten Winkel zwischen Boden und Wand gegenüber. Also h² = 5² − 1,5² = 25 − 2,25 = 22,75 und h = √22,75 ≈ 4,77 m.

Das „≈“ ist wichtig. √22,75 ist keine glatte Zahl, also schreibst du, dass du gerundet hast, und setzt die Einheit dazu. Solche Textaufgaben tauchen auch in der Prüfung zum Mittleren Schulabschluss auf, zum Beispiel in unseren Schlüsselaufgaben für die MSA-Mathe-Prüfung.

Der Fehler, der die meisten Punkte kostet

Fast alle Pythagoras-Fehler, die ich in Heften meiner Kinder und ihrer Freunde gesehen habe, haben denselben Ursprung: Es wird jedes Mal addiert, aus Reflex. Wer eine Kathete sucht und trotzdem addiert, kommt bei der Leiter auf 27,25, zieht die Wurzel und verkündet, die Leiter reiche 5,22 m hoch. Das ist länger als die Leiter selbst. Niemand stolpert darüber.

Ein schneller Plausibilitätscheck rettet dich: Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Widerspricht dein Ergebnis dem, hast du irgendwo ein Vorzeichen falsch.

Zwei kleinere Fallen. Die Wurzel am Ende vergessen (100 hinschreiben statt 10, das ist eine Fläche). Und (a + b)² schreiben, wo a² + b² gemeint ist, zwei völlig verschiedene Dinge.

Eine Mutter hat mir im letzten Frühjahr über EduBoost geschrieben. Ihre Tochter, 14, Klasse 9 in Niedersachsen, „konnte“ Pythagoras, verlor aber in jeder Arbeit einen Punkt. Als wir die Hefte zusammen durchgingen, war die Formel in Ordnung und die Skizze nicht: Sie markierte nie die Hypotenuse, bevor sie anfing. Eine einzige Gewohnheit hat gereicht, nämlich die Seite gegenüber dem rechten Winkel einzukreisen, bevor der Taschenrechner angefasst wird. Zwei Arbeiten später war der Punkt wieder da.

Der Kehrsatz: beweisen, dass ein Winkel rechtwinklig ist

Jetzt andersherum. Du hast drei Längen und willst wissen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Such die längste Seite, quadriere sie, addiere die Quadrate der beiden anderen und vergleiche.

Nimm 7, 24 und 25. 25² = 625 und 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Gleich, also ist das Dreieck rechtwinklig. Bei 4, 5 und 7: 4² + 5² = 41, aber 7² = 49. Nicht gleich, also kein rechter Winkel.

Daher kommt der Trick von der Baustelle. Ein 3-4-5-Dreieck aus Schnur ergibt einen perfekten rechten Winkel, ganz ohne Winkelmesser.

Mini-Quiz: fünf Fragen

1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 9 cm und 12 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?
2. Die Hypotenuse ist 10 cm lang, eine Kathete 6 cm. Wie lang ist die andere Kathete?
3. Ist ein Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13 rechtwinklig?
4. Ist ein Dreieck mit den Seiten 4, 5 und 7 rechtwinklig?
5. Ein Tablet-Display ist 24 cm breit und 18 cm hoch. Wie lang ist die Bildschirmdiagonale?

Lösungen: 1) 15 cm (81 + 144 = 225). 2) 8 cm (100 − 36 = 64). 3) Ja (25 + 144 = 169 = 13²). 4) Nein (16 + 25 = 41, nicht 49). 5) 30 cm (576 + 324 = 900).

Wenn du zwei oder mehr falsch hast, probier die Feynman-Methode: Erkläre laut und ohne Fachchinesisch, warum du in Beispiel 2 subtrahierst. Die Lücke zeigt sich sofort. Damit es bis zur Klassenarbeit hält, schlägt verteiltes Wiederholen jedes Pauken am Vorabend: Eine Pythagoras-Aufgabe alle drei bis vier Tage bringt mehr als zehn auf einmal am Abend davor. Wie du die Abstände planst, steht in unserem Artikel über verteiltes Lernen und Wiederholen.

Zum Üben im eigenen Tempo erzeugt der KI-Tutor schwierigere Varianten und geht jeden Fehler noch einmal durch. Hilfreich sind die Mathe-Nachhilfe für Klasse 9 und die Übersicht zur Mathe-Nachhilfe online. Wer lieber mit einem Menschen arbeitet, findet bei der Nachhilfe passende Angebote.

Pythagoras läuft auf eine Frage hinaus, die du vor jeder Rechnung stellst: Wo ist der rechte Winkel? Alles andere folgt daraus. Und bei deinem Kind: Was hakt mehr, die Formel oder die Skizze?