Daan zat in 2 havo en kon de stelling van Pythagoras foutloos opzeggen: "a kwadraat plus b kwadraat is c kwadraat". Toen tekende ik de driehoek een kwartslag gedraaid op het bord, met de schuine zijde rechtop in plaats van onderaan, en hij telde de twee kortste zijden bij elkaar op alsof er niets was veranderd. Hij had een zin geleerd en geen idee. Als orthopedagoog op een vmbo-t/havo-school in Utrecht heb ik dit moment honderd keer gezien, en het zit zelden in het rekenen zelf.

De stelling van Pythagoras zegt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden: a² + b² = c². Je berekent er een ontbrekende zijde mee. De omgekeerde stelling gebruik je om te controleren of een hoek echt recht is.

Vierkanten, geen lengtes: het idee achter de formule

Het woord dat ertoe doet is "kwadraat", en het is letterlijk bedoeld. Teken een rechthoekige driehoek en bouw op elke zijde een echt vierkant, zo breed als die zijde. De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is precies even groot als de twee andere vierkanten bij elkaar. a² is dus geen abstract getal maar een oppervlakte die je met een markeerstift kunt inkleuren.

Probeer het op ruitjespapier met de 3-4-5-driehoek. Een vierkant van 9 hokjes, een van 16, een van 25. En 9 + 16 is 25. Je kunt het natellen met je vinger, en dan is de formule geen versje meer dat je moet onthouden.

Een stukje geschiedenis, want er is altijd een leerling die het vraagt. Pythagoras heeft deze relatie vrijwel zeker niet ontdekt. Op een Babylonisch kleitablet, Plimpton 322 (ongeveer 1800 voor Christus, nu bij Columbia University), staan getallentrio's die eraan voldoen. Het oudste bewijs dat we kennen staat bij Euclides, in de Elementen, boek I, propositie 47.

Drie voorbeelden, van simpel naar nuttig

Voorbeeld 1: je zoekt de schuine zijde

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van 9 cm en 12 cm. Hoe lang is c?

c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, dus c = √225 = 15 cm.

Zoek je de schuine zijde, dan tel je op. En 15 is groter dan 9 en 12, zoals het hoort.

Voorbeeld 2: je zoekt een rechthoekszijde

De schuine zijde is 17 cm en een rechthoekszijde 8 cm. Hoe lang is de andere zijde b?

b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, dus b = √225 = 15 cm.

Hier trek je af. De schuine zijde heeft het grootste vierkant, en de andere twee moeten samen precies daar op uitkomen. Dit is de meest gemaakte fout die er is, daar kom ik zo op terug.

Voorbeeld 3: de ladder tegen de muur

Een ladder van 6 m staat tegen een muur en de voet staat 1,2 m van de muur. Hoe hoog reikt de ladder?

De ladder is de schuine zijde, want hij staat tegenover de rechte hoek tussen vloer en muur. Dus h² = 6² − 1,2² = 36 − 1,44 = 34,56 en h = √34,56 ≈ 5,88 m.

Dat "≈" is niet voor niets. √34,56 is geen mooi getal, dus schrijf op dat je hebt afgerond en zet de eenheid erachter. Tekstsommen als deze komen op toetsen en examens terug. Meer van dat soort opgaven staat uitgewerkt in onze wiskunde-oefeningen voor havo 4 en 5, en de onderbouwvariant kun je oefenen bij bijles wiskunde voor havo 3.

De fout die de meeste punten kost

Bijna alle fouten met Pythagoras die ik in schriften heb gezien, hebben dezelfde oorzaak: er wordt altijd opgeteld, uit reflex. Wie in de ladder-opgave optelt, krijgt 37,44, trekt de wortel en meldt dat de ladder 6,12 m hoog reikt. Hoger dan de ladder zelf lang is. Niemand stopt om dat te controleren.

Eén controle redt je: de schuine zijde is altijd de langste zijde. Spreekt je antwoord dat tegen, dan zit er ergens een verkeerd teken.

Twee kleinere valkuilen. De wortel vergeten (225 opschrijven in plaats van 15, wat een oppervlakte is). En (a + b)² schrijven terwijl je a² + b² bedoelt, twee heel verschillende dingen.

Vorig jaar schreef een moeder uit Amersfoort me via EduBoost. Haar dochter van 14, in 3 havo, "kende" Pythagoras en verloor bij elke toets toch een punt. Toen we samen in het schrift keken, bleek de formule goed en de tekening fout: ze noemde de onderste zijde in de figuur steeds c, ook als de driehoek gedraaid was en de schuine zijde diagonaal liep. Eén gewoonte bleek genoeg: de zijde tegenover de rechte hoek omcirkelen vóór de rekenmachine eraan te pas kwam. Twee toetsen later was dat punt terug.

De omgekeerde stelling: bewijzen dat een hoek recht is

Nu andersom. Je hebt drie lengtes en wilt weten of de driehoek rechthoekig is. Neem de langste zijde, kwadrateer die, tel de kwadraten van de andere twee op en vergelijk.

Met 20, 21 en 29: 29² = 841 en 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Gelijk, dus rechthoekig. Met 6, 7 en 10: 6² + 7² = 85, maar 10² = 100. Niet gelijk, dus geen rechte hoek.

Daar komt de bouwtruc vandaan. Een 3-4-5-driehoek van touw geeft een perfecte rechte hoek, zonder geodriehoek.

Toetsje: vijf vragen

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van 15 cm en 20 cm. Hoe lang is de schuine zijde?
De schuine zijde is 25 cm en een rechthoekszijde 7 cm. Hoe lang is de andere?
Is een driehoek met zijden 20, 21 en 29 rechthoekig?
Is een driehoek met zijden 6, 7 en 10 rechthoekig?
Een tablet is 24 cm breed en 18 cm hoog. Hoe lang is de diagonaal?

Antwoorden: 1) 25 cm (225 + 400 = 625). 2) 24 cm (625 − 49 = 576). 3) Ja (400 + 441 = 841 = 29²). 4) Nee (36 + 49 = 85, niet 100). 5) 30 cm (576 + 324 = 900).

Heb je er twee of meer fout, leg dan hardop uit, zonder omwegen, waarom je bij voorbeeld 2 aftrekt. Lukt dat niet, dan zit daar het gat. Hoe je zo'n uitleg als oefening gebruikt, staat in het artikel over de Feynman-techniek.

Om het tot de toets te laten blijven hangen werkt weinig en vaak beter dan veel en één keer: een Pythagoras-opgave om de drie of vier dagen levert meer op dan tien achter elkaar de avond ervoor. Roediger en Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) lieten zien dat jezelf overhoren meer vastzet dan herlezen, en Cepeda en collega's (2006, Psychological Bulletin, doi.org/10.1037/0033-2909.132.3.354) vonden in een overzicht van ruim driehonderd experimenten dat gespreid herhalen beter werkt dan alles in één keer. Hoe je de herhalingen indeelt, lees je in gespreide herhaling.

Wil je op je eigen tempo oefenen: de AI-tutor maakt moeilijkere varianten en loopt elke fout met je door, zie AI-tutor voor kinderen en bijles wiskunde online.

Heel Pythagoras komt neer op één vraag vóór je gaat rekenen: waar zit de rechte hoek? De rest volgt. En bij jou thuis, gaat het vaker mis met de formule of met de tekening?