Explicações matemática 12º ano — preparar Exame Nacional / acesso ao Ensino Superior com explicador IA

Enunciado

Considere a função f definida em IR por f(x) = x·e^(−x²). Estude a monotonia da função, indique os extremos relativos (caso existam) e calcule a área da região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = 0 e x = 1.

1. Passo 1 — Calcular a derivada f'(x). Aplicar a regra do produto: f(x) = u·v, com u = x e v = e^(−x²). Temos u' = 1 e v' = e^(−x²) · (−2x) (regra da função composta aplicada à exponencial). Então f'(x) = 1·e^(−x²) + x·e^(−x²)·(−2x) = e^(−x²) − 2x²·e^(−x²) = e^(−x²)·(1 − 2x²). Verbalização obrigatória: "produto, depois função composta na exponencial".
2. Passo 2 — Resolver f'(x) = 0 para encontrar pontos críticos. Como e^(−x²) > 0 para todo o x real, f'(x) = 0 ⇔ 1 − 2x² = 0 ⇔ x² = 1/2 ⇔ x = ±√(1/2) = ±√2/2. Há dois pontos críticos: x = −√2/2 e x = √2/2.
3. Passo 3 — Estudar o sinal de f'(x) e classificar os extremos. O fator e^(−x²) é sempre positivo. O sinal de f'(x) é o sinal de (1 − 2x²). Tabela de sinal: para x < −√2/2, 1 − 2x² < 0 → f decrescente; para −√2/2 < x < √2/2, 1 − 2x² > 0 → f crescente; para x > √2/2, 1 − 2x² < 0 → f decrescente. Conclusão: x = −√2/2 é mínimo relativo, x = √2/2 é máximo relativo. Valores: f(−√2/2) = (−√2/2)·e^(−1/2) ≈ −0,429 (mínimo); f(√2/2) = (√2/2)·e^(−1/2) ≈ 0,429 (máximo).
4. Passo 4 — Calcular a área da região pedida. A região é delimitada por f(x) = x·e^(−x²) entre x = 0 e x = 1. Como f(x) ≥ 0 nesse intervalo (x ≥ 0 e e^(−x²) > 0), a área é A = ∫₀¹ x·e^(−x²) dx. Para calcular esta primitiva, observe que a derivada de −x²/2 vezes (−2) dá x, sugerindo a substituição. Mais directamente: a primitiva de x·e^(−x²) é (−1/2)·e^(−x²) (verifica-se derivando: ((−1/2)·e^(−x²))' = (−1/2)·e^(−x²)·(−2x) = x·e^(−x²) ✓).
5. Passo 5 — Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. A = [(−1/2)·e^(−x²)] de 0 a 1 = (−1/2)·e^(−1) − (−1/2)·e^(0) = −1/(2e) + 1/2 = 1/2 − 1/(2e) = (e − 1)/(2e). Valor numérico aproximado: (2,718 − 1)/(2·2,718) ≈ 1,718/5,437 ≈ 0,316 unidades quadradas. Frase de resposta: "A função é decrescente em ]−∞, −√2/2[, crescente em ]−√2/2, √2/2[ e decrescente em ]√2/2, +∞[. Tem mínimo relativo em x = −√2/2 e máximo relativo em x = √2/2. A área da região delimitada vale (e−1)/(2e) ≈ 0,316 u.a."

Para reter: Este problema reúne três competências centrais do exame nacional: derivação composta (produto + função composta na exponencial), estudo de monotonia com tabela de sinal, e cálculo integral por reconhecimento de primitiva. Os critérios de classificação do IAVE valorizam particularmente o rigor: tabela de sinal completa (não basta dizer "máximo em x = √2/2" — é preciso justificar com o sinal da derivada), notação correta (use "u.a." para unidades de área), e respostas escritas em frase completa. Pratique problemas integrados como este com exames antigos para automatizar o método.