Lineare Gleichungen einfach erklärt: die Waagemethode

Vor knapp drei Jahren, an einem Mittwochabend im November, saß mein Ältester am Schreibtisch und hatte genug von Mathe. 7. Klasse, Gymnasium, neues Thema: lineare Gleichungen. Auf dem Blatt stand 3x + 5 = 20, darunter in seiner Schrift 3x = 20 + 5 und dann x = 25/3. „Komische Zahl“, sagte er, „aber stimmt bestimmt.“ Ich habe gefragt, warum aus der 5 ein Plus geworden ist. „Weil man sie rüberholt.“ Und was passiert mit einer Zahl, die man rüberholt? „Vorzeichen umdrehen.“ Pause. „Ach so.“ Er radierte, schrieb 20 − 5, kam auf 15, dann auf 5. Ohne meine Hilfe, in einer halben Minute.

Er kannte die Regel und sagte sie auf wie ein Ritual, ohne zu wissen, wovor das Ritual schützt. Dort sitzt das meiste, was an diesem Thema schwer ist.

Lineare Gleichungen einfach erklärt: Eine Gleichung sagt, dass beide Seiten gleich viel wiegen, wie eine Waage im Gleichgewicht. Um die Unbekannte x zu finden, machst du auf beiden Seiten dasselbe und nimmst die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge zurück, bis x allein steht. Zum Schluss setzt du dein Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein, also die Probe.

In den meisten Bundesländern ist das Stoff der 7. Klasse, an manchen Schulen rutscht es an den Anfang der 8. Verstehen muss man es nur ein einziges Mal, dann bleibt es.

Lineare Gleichungen einfach erklärt: die erste Falle ist das Gleichheitszeichen

Von den ersten Rechenaufgaben an lesen Kinder 3 + 4 = 7 von links nach rechts. Links wird gerechnet, rechts steht das Ergebnis. Das Gleichheitszeichen wird zur Taste „Ergebnis bitte“. Dann kommt 3x + 5 = 20, mit Zahlen auf beiden Seiten, und die Taste funktioniert plötzlich nicht mehr.

Ein Gleichheitszeichen, das nur „Ergebnis“ heißt

Eric Knuth, Ana Stephens, Nicole McNeil und Martha Alibali (2006, Journal for Research in Mathematics Education) haben 177 Schülerinnen und Schüler der Klassen 6 bis 8 in den USA, etwa 11 bis 14 Jahre alt, gefragt, was das Gleichheitszeichen bedeutet. Nur eine Minderheit antwortete im Sinn von „beide Seiten sind gleich viel“. Viele schrieben „die Zahlen zusammenrechnen“ oder „das Ergebnis“. Wer das Zeichen als Beziehung verstand, löste Gleichungen besser, und das galt auch dann noch, als die Forschenden die allgemeine Mathematikleistung anhand standardisierter Tests herausgerechnet hatten. Der Eintrag steht bei ERIC.

McNeil und Alibali (2005, Child Development) fanden etwas Ähnliches. Kinder zwischen 7 und 11, die an Rechengewohnheiten festhielten (alle Zahlen zusammenrechnen, das Gleichheitszeichen als „die Summe“ lesen), lernten aus einer Unterrichtsstunde zu Gleichungen weniger. In einem zweiten Experiment schnitten sogar Studierende schlechter ab, bei denen man diese Gewohnheiten vorher gezielt aktiviert hatte: doi.org/10.1111/j.1467-8624.2005.00884.x.

Beides sind Einzelstudien, kein Naturgesetz. Sie passen aber zu dem, was ich in Heften sehe.

Dein Kind hat schon eine gelöst

In der Grundschule gibt es Platzhalteraufgaben wie 3 + □ = 7, und in jeder Zahlenmauer fehlt irgendwo ein Stein, der ausgerechnet werden muss. Das leere Kästchen ist x im Kostüm. Ein Kind, das in 3 + □ = 7 eine 4 einträgt, hat eine lineare Gleichung gelöst, ohne Buchstaben und ohne Fachwort. Der Mathematikdidaktiker Günther Malle hat in seinem Buch Didaktische Probleme der elementaren Algebra (1993, Vieweg) beschrieben, dass man eine Variable unter anderem als Platzhalter für eine Zahl sehen kann, die man einsetzt. Genau diese Sicht bringen Grundschulkinder mit. In Klasse 7 ändert sich vor allem die Schreibweise: ein Buchstabe statt Kästchen, und mehrere Rechenschritte rund um ihn herum.

Gleichungen lösen mit dem Waagemodell

Stell dir eine Balkenwaage vor. In der linken Schale liegen drei gleiche, undurchsichtige Säckchen und 5 Murmeln. In der rechten Schale 20 Murmeln. Die Waage steht im Gleichgewicht. Nimmst du aus jeder Schale 5 Murmeln heraus, bleibt sie im Gleichgewicht: drei Säckchen gegen 15 Murmeln. Verteilst du die 15 Murmeln gerecht auf die 3 Säckchen, enthält jedes 5. Das ist 3x + 5 = 20, und x = 5.

Vier Handgriffe decken fast alles ab, was in Klasse 7 vorkommt:

1. Die Gleichung als Waage lesen. Zwei Seiten, gleich schwer.
2. Rückwärts zurücknehmen. Morgens ziehst du erst die Socken an und dann die Schuhe, abends kommen die Schuhe zuerst runter. Bei 3x + 5 wurde x erst mit 3 malgenommen und dann 5 addiert. Also erst 5 abziehen, dann durch 3 teilen. Das sind die Umkehroperationen.
3. Alle x auf eine Seite bringen, sobald x auf beiden Seiten steht.
4. Die Probe machen. Das Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen, jedes Mal, auch wenn man sich sicher ist.

Was in deutschen Heften hinter dem senkrechten Strich steht, etwa | − 5 oder | : 3, heißt Äquivalenzumformung. Das Wort klingt schlimmer als die Sache. Es ist eine Umformung, die das Gleichgewicht nicht stört, mehr nicht.

Drei Beispiele, vom leichtesten zum nützlichsten

Beispiel 1: x + 7 = 12. Ein Säckchen und 7 Murmeln gegen 12 Murmeln. Auf beiden Seiten 7 wegnehmen, also | − 7, und es bleibt x = 5. Probe: 5 + 7 = 12.

Beispiel 2: 2x − 9 = 7. Hier steht ein Minus, und trotzdem wird zuerst addiert, weil man zurücknimmt, was man sieht. | + 9 ergibt 2x = 16. | : 2 ergibt x = 8. Probe: 2 · 8 − 9 = 16 − 9 = 7.

Beispiel 3: zwei Fahrradverleihe an der Ostsee. Anbieter A verlangt 10 € Grundgebühr plus 4 € pro Stunde. Anbieter B verlangt 6 € pro Stunde ohne Grundgebühr. Nach wie vielen Stunden kosten beide gleich viel? Die Gleichung lautet 4x + 10 = 6x. x steht auf beiden Seiten, also | − 4x: 10 = 2x, dann | : 2 und x = 5. Probe: A kostet 10 + 4 · 5 = 30 €, B kostet 6 · 5 = 30 €. Unter fünf Stunden ist B billiger (nach 3 Stunden 18 € gegen 22 €), darüber gewinnt A. Solche Break-even-Fragen kenne ich aus meinem Berufsalltag besser, als mir lieb ist. Eine echte Frage wie diese erreicht einen Dreizehnjährigen deutlich zuverlässiger als eine Seite nackter Übungsaufgaben.

Was du vermeiden solltest: die Abkürzung zuerst

Meine Meinung, und ich verteidige sie gern: „Seitenwechsel, Vorzeichenwechsel“ sollte nie das Erste sein, was ein Kind über Gleichungen lernt.

Die Abkürzung ist richtig. Sie fasst zusammen, was passiert, wenn man auf beiden Seiten − 5 rechnet, ohne es hinzuschreiben. Wer sie aber zuerst lernt, behält den Satz und verliert den Grund, und dann feuert der Satz an den falschen Stellen. Die Fehler, die ich immer wieder sehe:

• Ein Vorzeichen wird umgedreht, obwohl die Zahl ihre Seite gar nicht verlässt.
• Links wird gerechnet und rechts vergessen, sodass aus x + 7 = 12 einfach x = 12 wird.
• Abziehen statt teilen: aus 2x = 16 wird x = 14.
• Keine Probe, obwohl sie zehn Sekunden kostet.

Letzten Winter hat mir eine Mutter aus Kassel über EduBoost geschrieben. Ihr Sohn Jonas, Klasse 8 an einer Realschule, schrieb brav hinter jede Zeile seinen Strich mit | − 5, wie es seine Lehrerin verlangte, und verlor trotzdem in jeder Arbeit Punkte. Als ich mir drei seiner Arbeiten angesehen habe, war das Muster klar: Er notierte den Schritt und rechnete ihn dann nur links. Der Strich war für ihn zur Dekoration geworden. Mein Vorschlag war eine Kleinigkeit, die albern klingt: nach jeder Zeile halblaut sagen „links minus 5, rechts minus 5“. Jonas fand das peinlich und hat es trotzdem gemacht. In der nächsten Klassenarbeit, schrieb seine Mutter, hatte er bei den Gleichungen keinen einzigen Vorzeichenfehler mehr. Ein Junge ist keine Statistik, aber das, was er vorher tat, hatte offensichtlich nicht funktioniert.

Es gibt noch einen zweiten Grund für den sauberen Rechenweg. Meiner Erfahrung nach vergeben viele Lehrkräfte Teilpunkte, wenn der Weg nachvollziehbar ist und nur in der letzten Zeile ein Fehler steckt. Ein nacktes falsches Ergebnis bringt nichts. Der Strich schützt also nicht nur das Verständnis, er schützt auch Punkte.

Wenn die Waage wackelt

Zwei Gleichungsarten bringen selbst Kinder ins Stolpern, die alles andere sicher können. Das negative x: Bei −x = 4 sagt die Waage, dass das Gegenteil von x gleich 4 ist, also x = −4 (Probe: das Gegenteil von −4 ist 4). Und das geteilte x: Bei x/3 = 4 nimmst du das Teilen zurück, indem du beide Seiten mit 3 malnimmst, | · 3, und bekommst x = 12. Wer „rückwärts zurücknehmen“ wirklich verstanden hat, braucht für beides keine neue Regel.

Verbiete ich die Abkürzung? Nein. Sobald ein Kind den Strich ohne Nachdenken richtig setzt und auf beiden Seiten rechnet, darf es die Tinte sparen und die Logik behalten. Das ist derselbe Schritt, nur ohne Schreibarbeit. Wann es so weit ist, hängt vom Kind ab und nicht vom Stoffverteilungsplan.

Wo lineare Gleichungen im Lehrplan stehen

Schule ist in Deutschland Ländersache, eine Angabe, die überall stimmt, gibt es also nicht. Grob gilt: Terme und Termumformungen kommen meist in der 6. oder 7. Klasse, lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen in den meisten Bundesländern in Klasse 7, an Realschulen und Gesamtschulen teils erst in Klasse 8. Die Kinder sind dann etwa 12 bis 14 Jahre alt. Danach verschwindet das Thema nie wieder. Gleichungssysteme, Funktionen, Formeln umstellen in Physik: Überall steckt dieselbe Waage. Spätestens in der Prüfung zum Mittleren Schulabschluss tauchen Gleichungen wieder auf, wie die typischen MSA-Mathe-Aufgaben zeigen. Und wer die Waage verstanden hat, stellt in Klasse 9 auch den Satz des Pythagoras ohne Panik nach einer Seite um.

Was die Forschung sagt

Eine Studie lässt mich nicht los: Robert Siegler und Kollegen (2012, Psychological Science) haben große, repräsentative Datensätze aus den USA und aus Großbritannien ausgewertet. Was Kinder in der Grundschule über Brüche und Division wussten, sagte ihre Algebra- und Mathematikleistung fünf bis sechs Jahre später voraus, auch wenn man andere Mathekenntnisse, allgemeine Intelligenz, Arbeitsgedächtnis sowie Einkommen und Bildung der Eltern herausrechnete: doi.org/10.1177/0956797612440101. Das ist wieder eine Korrelation. Es ist trotzdem der Grund, warum ich vorher über Brüche einfach erklärt geschrieben habe. Ein Kind, das sich mit Regeln statt Bildern durch die Bruchrechnung gemogelt hat, trifft hier meist auf dasselbe Problem, nur mit einem Buchstaben verkleidet.

Die Gleichungen der 7. Klasse sind das erste echte Tor zwischen Rechnen und Algebra. Mir ist lieber, ein Kind geht verstehend hindurch als auswendig aufsagend.

Mini-Quiz: fünf Fragen

1. Löse x + 9 = 21.
2. Löse 5x = 40.
3. Löse 3x + 4 = 19.
4. Löse 4x − 7 = 2x + 9.
5. Ein Schüler schreibt 2x + 6 = 14, dann 2x = 14 + 6 = 20, dann x = 10. Wo steckt der Fehler, und wie lautet die richtige Lösung?

Lösungen: 1) x = 12. 2) x = 8 (beide Seiten durch 5 teilen). 3) 3x = 15, also x = 5. 4) | − 2x ergibt 2x − 7 = 9, | + 7 ergibt 2x = 16, also x = 8. Probe: 4 · 8 − 7 = 25 und 2 · 8 + 9 = 25. 5) Er hat 6 addiert, statt sie abzuziehen. Richtig: 2x = 14 − 6 = 8, also x = 4. Sein Ergebnis fällt bei der Probe durch, denn 2 · 10 + 6 = 26 und nicht 14.

Wackeln zwei Antworten, hol die Murmeln oder ein paar Münzen wieder raus und rechne die Beispiele noch einmal von Hand, bevor es an die Übungsblätter geht. Zehn Minuten alle zwei, drei Tage bringen mehr als eine Stunde am Abend vor der Arbeit, das ist die Idee hinter verteiltem Wiederholen. Wie man die Abstände plant, steht in unserem Artikel über verteiltes Lernen und Wiederholen. Ein weiterer Trick: Lass dein Kind bei jeder Zeile laut sagen, was es auf beiden Seiten tut, ganz im Sinn der Feynman-Methode. Wer es sagen kann, kann es meistens auch.

Zum Üben im eigenen Tempo erzeugt der KI-Tutor von EduBoost schwierigere Varianten und geht jeden Fehler noch einmal mit dem Kind durch. Passend dazu: die Mathe-Nachhilfe für Klasse 7 und die Übersicht zur Mathe-Nachhilfe online. Wer lieber mit einem Menschen arbeitet, findet bei der Nachhilfe passende Angebote.

Zurück an den Schreibtisch

Mein Ältester hat an jenem Mittwoch keine neue Regel bekommen. Ich habe auf die Rückseite eines Briefumschlags eine Waage gezeichnet, drei Säckchen und ein paar Kreise für die Murmeln, und drei Wochen lang am Ende jeder Zeile dieselbe Frage gestellt: Was hast du auf beiden Seiten gemacht? In der dritten Woche schrieb er den Strich, ohne dass ich etwas sagen musste, und rechnete rechts mit.

Ein Kind hat lineare Gleichungen verstanden, wenn es sagen kann, was es auf beiden Seiten tut. Tempo und Abkürzungen kommen später, und sie halten länger, wenn sie später kommen. Wenn dein Kind also das nächste Mal eine Gleichung löst: Schau kurz nicht aufs Ergebnis, sondern frag nur das.