Em setembro, ao almoço em casa da minha irmã, em Oeiras, fiz à minha sobrinha a pergunta de sempre: "Preferes um terço ou um quarto desta pizza?" A Leonor, nove anos, nem hesitou. "Um quarto. Quatro é maior do que três."

Desenhei duas pizzas num guardanapo, uma cortada em três e outra em quatro, e pousei o lápis em cima da mesa. Passou um minuto. "Então quatro é mais", disse ela devagar, "mas dá menos."

Frações explicadas de forma simples começam exatamente aí: primeiro divide-se, depois calcula-se.

Uma fração é uma divisão em partes iguais. O denominador (por baixo do traço) diz em quantas partes iguais o inteiro foi cortado e o numerador (por cima) diz quantas partes foram tiradas. Em 3/4, o inteiro foi cortado em quatro partes iguais e tiraram-se três. Quanto maior o denominador, mais pequena é cada parte.

Porque é que 1/4 parece maior do que 1/3

Desde o 1.º ano, a criança aprende uma regra que nunca falhou: o número maior é o maior. 8 é mais do que 4, 50 é mais do que 5. Um dia aparecem dois números empilhados e ela aplica a regra a cada um em separado. Yujing Ni e Yong-Di Zhou (2005, Educational Psychologist) chamam-lhe whole number bias, a tendência para tratar uma fração como dois números inteiros soltos: doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3. Tem pouco a ver com inteligência. Uma regra que funcionou durante quatro anos é usada num sítio onde deixou de funcionar.

O que está em jogo vai além do próximo teste. Robert Siegler e colegas (2012, Psychological Science) analisaram dois grandes estudos que seguiram crianças ao longo de anos, um nos Estados Unidos e outro no Reino Unido. O que as crianças sabiam de frações e de divisão aos 10 anos previa os resultados em Álgebra e em Matemática aos 16, mesmo depois de controlados o QI, a memória de trabalho e a escolaridade e o rendimento dos pais: doi.org/10.1177/0956797612440101.

É uma correlação, e uma noite de exercícios de frações não vai levantar a nota de ninguém no 10.º ano. Mesmo assim, reconheço o padrão. Dou aulas de Matemática no secundário e as frações chegam-me lá sempre disfarçadas de letras. No ano passado, o Diogo, numa equação com x/2 + x/3 = 5, escreveu 2x/5 = 5 e chegou a x = 12,5 sem franzir o sobrolho. Substituímos o 12,5 na equação original e a conta não dava 5. Na versão certa, x/2 + x/3 = 5x/6, e x = 6. Ele não errou a resolver a equação; errou a somar duas frações, coisa que devia estar resolvida desde o 6.º ano. E a razão, a proporção e a percentagem continuam a cair nos testes até ao fim do secundário (as matrizes da prova de Matemática do 9.º ano mostram bem como o tema regressa).

Frações explicadas: o denominador dá o nome, o numerador conta

Pega numa tira de papel ou numa pizza a sério. Corta em quatro partes iguais: são quartos. Tira três e tens três quartos, que se escreve 3/4.

Ajuda levar as palavras à letra. Denominador vem de denominar: dá o nome às partes, como "laranjas" em "três laranjas". Numerador vem de numerar: conta quantas dessas partes tens. Destas duas palavras saem regras que deixam de parecer capricho da professora:

Só se somam partes com o mesmo nome. Três oitavos mais dois oitavos são cinco oitavos.
Mais partes querem dizer partes mais finas. Por isso 1/5 é menor do que 1/3: cinco pessoas a dividir a mesma tablete de chocolate, em vez de três.
Uma fração pode passar de 1. 5/4 são cinco quartos, ou seja, um inteiro e mais um quarto.
O denominador nunca é zero, porque ninguém corta uma pizza em zero bocados.

Já usas isto todos os dias

Em português, os nomes das partes andam na boca de toda a gente: "meia dúzia", "meio quilo", "meia hora", "um terço da conta". E há o melhor exemplo de todos, o relógio: um quarto de hora são 15 minutos, três quartos de hora são 45. Qualquer criança que saiba ver as horas já trabalha com quartos, só não lhes chama frações. Depois do décimo, a língua muda de feitio e passa a "onze avos", "doze avos", "quinze avos". "Cinco doze avos" é só o nome de um bocado, tal como "cinco quartos". A vida real chega antes do caderno.

Há uma condição, e é a primeira a desaparecer quando a criança desenha à pressa: as partes têm de ser iguais. Uma pizza cortada ao calhas, com uma fatia enorme e três migalhas, não dá quartos, por muito que tenha quatro bocados.

Em que ano aparece

Para quem tem filhos na escola e quer situar-se: o primeiro contacto com os números racionais dá-se no 1.º ciclo, com situações de partilha e de divisão do inteiro em partes iguais, e o tema ganha peso em regra a partir do 3.º ano. No 5.º ano, em regra, o tema regressa com comparação, frações equivalentes e operações. Somar frações com denominadores diferentes costuma ficar para esta altura. A ordem exata muda de escola para escola e de manual para manual, por isso, se o teu filho parece adiantado ou atrasado em relação ao que descrevo, vê a planificação anual que o professor entregou.

Três exemplos, do simples ao útil

Exemplo 1: comparar duas frações

O que é maior, 3/5 ou 3/8? Nos dois casos tiras três bocados, mas os quintos são maiores do que os oitavos, e 3/5 ganha. Pensa na pizza: cortada em cinco, cada fatia é maior do que cortada em oito.

Mais difícil: 3/4 ou 5/8? Agora os bocados não têm o mesmo nome. Corta cada quarto ao meio e ganhas dois oitavos, logo 3/4 = 6/8. Como 6/8 é mais do que 5/8, ganha 3/4. Duas tiras de papel do mesmo tamanho, uma dobrada em quatro e outra em oito, mostram isto em dez segundos.

Exemplo 2: fração de uma quantia

O Tiago juntou 24 euros da semanada e gastou 3/8 numa prenda para o irmão. Quanto gastou?

O denominador diz em quantas partes iguais divides os 24 euros: 24 ÷ 8 = 3 euros por oitavo. O numerador diz quantas partes tiras: 3 × 3 = 9. O Tiago gastou 9 euros e ficou com 15, que são precisamente os 5/8 que sobram (5 × 3 = 15). Primeiro divide-se, depois multiplica-se. Ao contrário também dá certo, mas aí fazem-se contas com números grandes sem necessidade.

Exemplo 3: somar numa receita

O bolo de iogurte da minha avó leva 3/4 de chávena de leite e 1/2 chávena de óleo. Quanto líquido vai na massa?

Os bocados voltam a não ter o mesmo nome, por isso é preciso inventar um nome comum: meia chávena são dois quartos, ou seja, 1/2 = 2/4. Então 3/4 + 2/4 = 5/4 de chávena, uma chávena inteira e mais um quarto. Em muitas escolas esta conta só aparece no 5.º ou 6.º ano. Ponho-a aqui na mesma, porque a criança encontra o problema na cozinha lá de casa muito antes.

O erro que volta todos os anos

1/2 + 1/3 = 2/5. Já vi isto em mais cadernos do que consigo contar. A criança soma em cima com em cima e em baixo com em baixo, como faria com inteiros, e o whole number bias volta a atacar. A resposta certa é 5/6.

A verificação que resolve logo: 1/2 + 1/2. Se somares também os denominadores, chegas a 2/4, meia tablete de chocolate. Duas metades de chocolate que, juntas, dão meia tablete: não pode estar certo. Quando o resultado contradiz o desenho da divisão, há erro em algum lado.

Uma variante muito comum: 3/8 + 2/8 = 5/16. "Oitavo" é um nome, e nomes não se somam, por isso o denominador fica igual.

No ano passado, uma mãe de Matosinhos escreveu-me através do EduBoost. O filho, o Martim, 10 anos, no 5.º ano, fazia as somas de frações "ao calhas" e falhava metade. Pedi-lhe que perguntasse ao Martim quanto dava 1/2 + 1/2. "Dois quartos", respondeu ele. E, logo a seguir, a rir: "Então é a tablete toda." Foi nesse momento que o erro ficou visível para ele. Sugeri um único hábito: dizer em voz alta "três oitavos mais dois oitavos" antes de fazer a conta. Umas semanas depois, a mãe contou que os erros de denominador tinham quase desaparecido. Se funciona assim com todas as crianças, não sei. Com o Martim, a viragem veio quando o nome do bocado voltou a querer dizer alguma coisa.

A minha opinião, e posso estar enganada: o mínimo múltiplo comum e as regras para reduzir ao mesmo denominador só deviam entrar quando a criança consegue explicar, com uma tira de papel, porque é que está a fazer aquilo. Na prática, vejo quase sempre a ordem trocada.

Miniteste: cinco questões

Uma pizza foi cortada em 8 fatias iguais e comeste 3. Que fração comeste?
Qual é maior: 1/6 ou 1/10?
Quanto é 2/5 de 40?
Calcula 5/12 + 4/12.
Um aluno escreveu 3/4 + 1/8 = 4/12. O que correu mal e qual é a resposta certa?

Soluções: 1) 3/8. 2) 1/6 (os sextos são maiores do que os décimos). 3) 16 (40 ÷ 5 = 8 e 2 × 8 = 16). 4) 9/12, que simplificado dá 3/4 (o denominador mantém-se). 5) O aluno somou numerador com numerador e denominador com denominador. Primeiro transforma 3/4 em 6/8; depois, 6/8 + 1/8 = 7/8. O resultado 4/12 equivale a 1/3, que é menos do que 3/4: impossível, já que se somou alguma coisa.

Falhaste duas ou mais? Pega outra vez na tira de papel e refaz os exemplos antes de avançares. Se conseguires explicar a divisão a outra pessoa, aprendeste. As frações são também a base de muita coisa que vem depois, incluindo as contas com raízes e quadrados do teorema de Pitágoras explicado passo a passo. E quem já anda a juntar exercícios do 9.º ano encontra mais prática, organizada por tema, no caderno de exercícios de Matemática do 9.º ano.

Para as frações ficarem até ao teste, pouco e muitas vezes rende mais do que muito de uma vez: dez minutos de dois em dois ou de três em três dias valem mais do que uma hora seguida. Henry Roediger e Jeffrey Karpicke (2006, Universidade de Washington em St. Louis, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraram que testar-se fixa mais do que reler. Como distribuir as revisões está no artigo sobre repetição espaçada, e a definição curta fica no glossário. Para sessões curtas que uma criança aguenta sem birras, a técnica Pomodoro dá uma estrutura simples.

Se a criança quiser treinar ao seu ritmo, o explicador de IA do EduBoost cria variantes mais difíceis e revê cada erro com ela: vê o explicador de IA para crianças e as explicações de Matemática para o 6.º ano.

De volta ao guardanapo

À mesa, em Oeiras, a explicação não mudou nada. Não entrou regra nova nenhuma. A Leonor viu os dois desenhos, e a frase dela, "quatro é mais, mas dá menos", ficou melhor do que qualquer definição que eu tivesse preparado. Eu só tive de me calar.

É isto que levo de todos estes anos: perde-se menos tempo a dobrar papel do que a repetir uma regra que a criança não consegue ver. Frações explicadas de forma simples resumem-se à passagem do "sei a regra" para o "estou a ver". E lá por casa, quando a fração sai mal, repete-se a regra ou vai-se buscar a faca e a pizza?

Frações explicadas de forma simples: exemplos e miniteste