Teorema de Pitágoras explicado passo a passo (8.º ano)

Todos os anos, em setembro, faço a mesma experiência com as minhas turmas de 10.º ano. Desenho no quadro um triângulo retângulo rodado, com a hipotenusa na vertical, e peço o lado que falta. No ano passado, o Tomás recitou-me o teorema de Pitágoras sem hesitar ("o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos") e logo a seguir somou os quadrados dos dois lados que eu tinha dado, um dos quais era a própria hipotenusa. Sabia a frase de cor e não fazia ideia do que ela descrevia. Em treze anos a dar aulas de Matemática no secundário, em Lisboa, vi esta cena tantas vezes que já conto com ela, e quase nunca o problema está no cálculo.

O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois catetos: a² + b² = c². Usa-se a fórmula para calcular o lado que falta. O recíproco do teorema serve para verificar se um ângulo é realmente reto.

O teorema de Pitágoras fala de áreas: a ideia por trás da fórmula

A palavra que interessa é "quadrado", e é para levar à letra. Desenha um triângulo retângulo e constrói sobre cada lado um quadrado a sério, com a medida desse lado. A área do quadrado da hipotenusa é exatamente a soma das áreas dos outros dois. Ou seja, a² é uma área, coisa que se pode pintar com um marcador fluorescente.

Experimenta em papel quadriculado com o triângulo 3-4-5. Um quadrado com 9 quadrículas, outro com 16, outro com 25. E 9 + 16 dá 25. Conta-se com o dedo, e a partir daí a fórmula deixa de ser um verso decorado.

Se quiseres ver porquê, sem álgebra: recorta quatro triângulos retângulos iguais e arruma-os dentro de um quadrado de lado a + b. Com os triângulos encostados aos cantos, sobra ao centro um quadrado inclinado de lado c. Volta a arrumá-los, agora aos pares, a formar dois retângulos, e o espaço livre passa a ser dois quadrados, um de lado a e outro de lado b. O quadrado grande é o mesmo e os quatro triângulos também, logo o que sobra tem a mesma área nas duas arrumações: c² = a² + b². Faço isto com cartolina e demora cinco minutos.

Um pouco de história, porque há sempre um aluno que pergunta. É quase certo que Pitágoras não foi o primeiro a conhecer esta relação. Numa placa de argila babilónica, a Plimpton 322 (cerca de 1800 a.C., hoje na Universidade de Columbia), aparecem ternos de números que lhe obedecem. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides, livro I, proposição 47.

Em que ano se dá em Portugal

O teorema dá-se em geral no 8.º ano, segundo as Aprendizagens Essenciais de Matemática do 3.º ciclo. Depois regressa na trigonometria do 9.º ano e faz parte da Geometria avaliada na Prova Final (o artigo sobre as matrizes da prova de Matemática do 9.º ano mostra onde encaixa). No 10.º, os meus alunos voltam a precisar dele para a distância entre dois pontos.

Três exemplos, do simples ao útil

Exemplo 1: à procura da hipotenusa

Um triângulo retângulo tem catetos de 5 cm e 12 cm. Quanto mede c?

c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, logo c = √169 = 13 cm.

Procuras a hipotenusa, somas. E 13 é maior do que 5 e do que 12, como tem de ser.

Exemplo 2: à procura de um cateto

A hipotenusa mede 26 cm e um dos catetos mede 10 cm. Quanto mede o outro cateto, b?

b² = 26² − 10² = 676 − 100 = 576, logo b = √576 = 24 cm.

Aqui subtrai-se. O quadrado maior é o da hipotenusa, e os outros dois têm de perfazer exatamente esse valor. É o erro mais comum de todos, e já lá volto.

Exemplo 3: a escada encostada à parede

Uma escada de 5 m está encostada a uma parede, com a base a 1,5 m dela. A que altura chega?

A escada é a hipotenusa, porque fica em frente ao ângulo reto que o chão faz com a parede. Então h² = 5² − 1,5² = 25 − 2,25 = 22,75 e h = √22,75 ≈ 4,77 m.

O "≈" está ali por uma razão. √22,75 não dá um número redondo, por isso indica que arredondaste e põe a unidade no fim. Problemas com enunciado deste género aparecem nos testes e na Prova Final, e tens mais, organizados por tema, no caderno de exercícios de Matemática do 9.º ano. Para treinar a matéria com ajuda, há as explicações de Matemática para o 8.º ano.

O erro que custa mais pontos

Quase todos os erros com Pitágoras que encontro nos testes têm a mesma origem: soma-se sempre, por reflexo. Quem soma no problema da escada obtém 27,25, tira a raiz e anuncia que a escada chega aos 5,22 m. Mais do que o comprimento da própria escada. E entrega o teste assim.

Uma verificação resolve: a hipotenusa é sempre o maior lado. Se a tua resposta diz o contrário, há um sinal errado algures.

Duas armadilhas mais pequenas. Esquecer a raiz (escrever 169 em vez de 13, que é uma área). E escrever (a + b)² quando se queria a² + b², que são coisas bem diferentes.

No ano letivo passado, uma mãe de Almada escreveu-me através do EduBoost. A filha, de 13 anos, "sabia" Pitágoras e perdia cotação em todos os testes. Quando vimos o caderno juntas, a fórmula estava certa e o esquema estava errado: chamava c ao lado de baixo da figura, mesmo quando o triângulo vinha rodado e a hipotenusa ficava na diagonal. Bastou um hábito: rodear o lado oposto ao ângulo reto antes de pegar na calculadora. Dois testes depois, a cotação tinha voltado.

Tenho uma opinião pouco popular entre colegas: mandar decorar a frase do teorema antes de desenhar os quadrados é tempo perdido. Prefiro mil vezes um aluno que escreve a relação com os seus números antes de calcular. Nos testes que corrijo, essa linha vale cotação mesmo quando o resultado final sai errado.

O recíproco do teorema de Pitágoras: provar que um ângulo é reto

Agora ao contrário. Tens três medidas e queres saber se o triângulo é retângulo. Pega no maior lado, eleva-o ao quadrado, soma os quadrados dos outros dois e compara.

Com 9, 40 e 41: 41² = 1681 e 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681. Igual, portanto é retângulo. Com 5, 6 e 8: 5² + 6² = 61, mas 8² = 64. Diferente, portanto não há ângulo reto.

É daqui que vem o truque das obras. Um triângulo 3-4-5 feito com cordel dá um ângulo reto certinho, sem esquadro.

Miniteste: cinco questões

1. Um triângulo retângulo tem catetos de 8 cm e 15 cm. Quanto mede a hipotenusa?
2. A hipotenusa mede 20 cm e um cateto mede 12 cm. Quanto mede o outro cateto?
3. Um triângulo de lados 12, 35 e 37 é retângulo?
4. Um triângulo de lados 7, 9 e 12 é retângulo?
5. O ecrã de um portátil tem 32 cm de largura e 24 cm de altura. Quanto mede a diagonal?

Soluções: 1) 17 cm (64 + 225 = 289). 2) 16 cm (400 − 144 = 256). 3) Sim (144 + 1225 = 1369 = 37²). 4) Não (49 + 81 = 130, e 12² = 144). 5) 40 cm (1024 + 576 = 1600).

Falhaste duas ou mais? Explica em voz alta, sem rodeios, porque é que no exemplo 2 se subtrai. Se não conseguires, a falha está aí. Cada conta errada merece uma linha numa ficha de revisão para veres mais tarde, e sessões curtas e concentradas, como as da técnica Pomodoro, chegam bem para este tipo de treino.

Para a matéria ficar até ao teste, pouco e muitas vezes rende mais do que muito de uma vez: um problema de Pitágoras de quatro em quatro dias vale mais do que dez seguidos na véspera. Roediger e Karpicke (2006, Universidade de Washington em St. Louis, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraram que testar-se fixa mais do que reler, e Cepeda e colegas (2006, Psychological Bulletin, doi.org/10.1037/0033-2909.132.3.354) concluíram, numa revisão de mais de trezentas experiências, que distribuir o estudo no tempo ganha a concentrá-lo todo num dia. É a lógica da repetição espaçada, e o artigo sobre repetição espaçada na aprendizagem mostra como organizar os intervalos.

Se quiseres treinar ao teu ritmo, o explicador de IA cria variantes mais difíceis e passa por cada erro contigo: vê como funciona o explicador de IA para crianças. Quem está no 9.º ano pode seguir para a página de preparação para a Prova Final.

O teorema de Pitágoras inteiro cabe numa pergunta feita antes de qualquer cálculo: onde está o ângulo reto? O resto vem depois. E aí por casa, tropeça-se mais na fórmula ou na figura?