Ripetizioni matematica 5ª superiore — preparare Maturità con tutor IA

Testo dell'esercizio

Studia la funzione f(x) = (x² − 1)/x e disegnane il grafico. Determina dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti agli estremi del dominio, asintoti, monotonia, estremi relativi, concavità e flessi.

1. Passo 1 — Dominio e simmetrie. La funzione è una frazione, esiste per x ≠ 0. Dominio: D = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Simmetria: calcolo f(−x) = ((−x)² − 1)/(−x) = (x² − 1)/(−x) = −(x² − 1)/x = −f(x). La funzione è DISPARI: il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Verbalizzazione: "f(−x) = −f(x), funzione dispari, simmetria rispetto all'origine".
2. Passo 2 — Intersezioni con gli assi e segno. Asse x: f(x) = 0 → (x²−1)/x = 0 → x²−1 = 0 (con x≠0) → x = ±1. Punti: (−1, 0) e (1, 0). Asse y: x = 0 non appartiene al dominio, nessuna intersezione con l'asse y. Segno di f(x): studio numeratore e denominatore separatamente. Numeratore x²−1 > 0 per x < −1 o x > 1; denominatore x > 0 per x > 0. Tabella dei segni: f(x) > 0 per −1 < x < 0 oppure x > 1; f(x) < 0 per x < −1 oppure 0 < x < 1.
3. Passo 3 — Limiti agli estremi del dominio e asintoti. Limite per x → −∞: (x²−1)/x ≈ x²/x = x → −∞. Limite per x → +∞: x²/x = x → +∞. Limite per x → 0⁻: (0−1)/0⁻ = −1/0⁻ = +∞. Limite per x → 0⁺: −1/0⁺ = −∞. Asintoto verticale: x = 0 (asse y). Asintoto orizzontale: NON c'è (i limiti all'infinito sono infiniti). Asintoto obliquo: m = lim(x→±∞) f(x)/x = lim (x²−1)/x² = 1; q = lim(x→±∞) [f(x) − mx] = lim [(x²−1)/x − x] = lim (x²−1−x²)/x = lim −1/x = 0. Asintoto obliquo: y = x.
4. Passo 4 — Derivata prima, monotonia ed estremi. Riscrivo f(x) = x − 1/x. Derivata: f'(x) = 1 + 1/x² = (x² + 1)/x². Studio del segno: il numeratore x² + 1 è sempre positivo (somma di un quadrato e 1), il denominatore x² è sempre positivo (quadrato). Quindi f'(x) > 0 per ogni x ≠ 0. La funzione è MONOTONA CRESCENTE su tutto il dominio (separatamente sui due intervalli). Non ci sono punti di estremo relativo (massimo o minimo).
5. Passo 5 — Derivata seconda, concavità e flessi. Derivata seconda: f''(x) = derivata di (1 + x⁻²) = −2x⁻³ = −2/x³. Studio del segno: f''(x) > 0 quando −2/x³ > 0, ovvero x³ < 0, ovvero x < 0. f''(x) < 0 per x > 0. Concavità verso l'alto (CONVESSA) per x < 0; concavità verso il basso (CONCAVA) per x > 0. Punti di flesso: f'' = 0 mai (il numeratore è −2, costante non nulla); il cambio di concavità avviene in x = 0 ma x = 0 NON appartiene al dominio, quindi non è un flesso. CONCLUSIONE GRAFICO: due rami iperbolici simmetrici rispetto all'origine, asintoto verticale x = 0, asintoto obliquo y = x, intersezioni con asse x in (±1, 0), funzione monotona crescente sui due rami, ramo sinistro convesso, ramo destro concavo.

Da ricordare: Lo studio di funzione completo è il problema centrale della seconda prova di Maturità scientifica da decenni. La metodologia è invariante: dominio → simmetrie → intersezioni → segno → limiti → asintoti → derivata prima (monotonia, estremi) → derivata seconda (concavità, flessi) → grafico. Ogni passo deve essere giustificato a parola e con calcolo esplicito — i commissari valutano la METODOLOGIA tanto quanto il risultato. La verifica grafica finale con software (Desmos, GeoGebra) è raccomandata come controllo, ma alla Maturità il grafico va disegnato a mano con riga, compasso e cura della pulizia.