Teorema de Pitágoras explicado: simples, com exemplos

O Davi, aluno do 9º ano, recitava o teorema de Pitágoras sem errar uma palavra: "o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Aí eu desenhei o triângulo girado no quadro, com a hipotenusa na vertical em vez de deitada embaixo, e ele somou os dois lados menores do jeito de sempre, como se nada tivesse mudado. Tinha decorado uma frase e não tinha ideia do que ela dizia. Como pedagoga, com mais de uma década de reforço escolar em São Paulo, vi essa cena dezenas de vezes, e quase nunca o problema está na conta.

O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois catetos: a² + b² = c². Você usa a fórmula para calcular o lado que falta. O teorema recíproco serve para conferir se um ângulo é realmente reto.

Quadrados, não comprimentos: a ideia por trás da fórmula

A palavra que importa é "quadrado", e ela é literal. Desenhe um triângulo retângulo e construa sobre cada lado um quadrado de verdade, com a mesma medida do lado. A área do quadrado da hipotenusa é exatamente a soma das áreas dos outros dois. Então a² não é um número abstrato: é uma área que dá para pintar com marca-texto.

Teste no papel quadriculado com o triângulo 3-4-5. Um quadrado de 9 quadradinhos, outro de 16, outro de 25. E 9 + 16 dá 25. Dá para contar com o dedo, e aí a fórmula deixa de ser um verso decorado.

Um pouco de história, porque sempre tem um aluno que pergunta. Pitágoras quase certamente não descobriu essa relação. Numa tábua de argila babilônica, a Plimpton 322 (cerca de 1800 a.C., hoje na Universidade Columbia), aparecem trincas de números que obedecem a ela. A demonstração mais antiga que conhecemos está nos Elementos de Euclides, livro I, proposição 47.

Três exemplos, do simples ao útil

Exemplo 1: procurando a hipotenusa

Um triângulo retângulo tem catetos de 9 cm e 12 cm. Quanto mede c?

c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, então c = √225 = 15 cm.

Procurou a hipotenusa, soma. E 15 é maior que 9 e que 12, como deve ser.

Exemplo 2: procurando um cateto

A hipotenusa mede 17 cm e um cateto, 8 cm. Quanto mede o outro cateto, b?

b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, então b = √225 = 15 cm.

Aqui se subtrai. O maior quadrado é o da hipotenusa, e os outros dois precisam fechar exatamente esse valor. É o erro mais comum de todos, e volto a ele daqui a pouco.

Exemplo 3: a escada na parede

Uma escada de 6 m está encostada numa parede e o pé dela fica a 1,2 m da parede. A que altura ela chega?

A escada é a hipotenusa, porque fica de frente para o ângulo reto entre o chão e a parede. Logo h² = 6² − 1,2² = 36 − 1,44 = 34,56 e h = √34,56 ≈ 5,88 m.

Aquele "≈" está ali por um motivo. √34,56 não é um número bonito, então escreva que arredondou e coloque a unidade no final. Problemas de texto assim aparecem em prova e no ENEM, e há mais deles resolvidos passo a passo nos nossos exercícios de matemática do ENEM com questões resolvidas. Para treinar o conteúdo do 9º ano com acompanhamento, veja as aulas particulares de matemática.

O erro que mais tira pontos

Quase todos os erros com Pitágoras que vi em caderno têm a mesma origem: a pessoa soma sempre, por reflexo. Quem soma no problema da escada obtém 37,44, tira a raiz e anuncia que a escada alcança 6,12 m. Mais do que a própria escada mede. Ninguém para para checar.

Uma verificação resolve: a hipotenusa é sempre o maior lado. Se a sua resposta contradiz isso, tem sinal errado em algum lugar.

Duas armadilhas menores. Esquecer a raiz (escrever 225 em vez de 15, que é uma área). E escrever (a + b)² quando a intenção era a² + b², duas coisas bem diferentes.

No ano passado, uma mãe de Campinas me escreveu pelo EduBoost. A filha, de 14 anos, "sabia" Pitágoras e perdia um ponto em toda prova. Quando olhamos o caderno juntas, a fórmula estava certa e o desenho estava errado: ela chamava de c o lado de baixo da figura, mesmo quando o triângulo estava girado e a hipotenusa ficava na diagonal. Um único hábito bastou: circular o lado oposto ao ângulo reto antes de pegar a calculadora. Duas provas depois, o ponto tinha voltado.

O teorema recíproco: provando que um ângulo é reto

Agora o contrário. Você tem três medidas e quer saber se o triângulo é retângulo. Pegue o maior lado, eleve ao quadrado, some os quadrados dos outros dois e compare.

Com 20, 21 e 29: 29² = 841 e 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Igual, então é retângulo. Com 6, 7 e 10: 6² + 7² = 85, mas 10² = 100. Diferente, então não há ângulo reto.

É daí que vem o truque de obra. Um triângulo 3-4-5 feito de barbante dá um ângulo reto perfeito, sem esquadro.

Miniteste: cinco questões

1. Um triângulo retângulo tem catetos de 15 cm e 20 cm. Quanto mede a hipotenusa?
2. A hipotenusa mede 25 cm e um cateto, 7 cm. Quanto mede o outro cateto?
3. Um triângulo de lados 20, 21 e 29 é retângulo?
4. Um triângulo de lados 6, 7 e 10 é retângulo?
5. Uma tela de tablet tem 24 cm de largura e 18 cm de altura. Qual o comprimento da diagonal?

Gabarito: 1) 25 cm (225 + 400 = 625). 2) 24 cm (625 − 49 = 576). 3) Sim (400 + 441 = 841 = 29²). 4) Não (36 + 49 = 85, e não 100). 5) 30 cm (576 + 324 = 900).

Errou duas ou mais? Explique em voz alta, sem rodeios, por que no exemplo 2 se subtrai. Se não conseguir, o buraco está aí. Quem quiser transformar essa explicação em exercício de estudo encontra um método pronto na técnica de Pomodoro, que ajuda a manter sessões curtas e focadas, e no caderno de erros, onde cada conta errada vira uma linha para rever depois.

Para a matéria grudar até a prova, funciona melhor pouco e várias vezes do que muito e uma vez só: uma questão de Pitágoras a cada três ou quatro dias rende mais que dez seguidas na véspera. Roediger e Karpicke (2006, Universidade de Washington, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraram que se testar fixa mais do que reler, e Cepeda e colegas (2006, Psychological Bulletin, doi.org/10.1037/0033-2909.132.3.354) concluíram, numa revisão de mais de trezentos experimentos, que revisar com intervalos vence estudar tudo de uma vez. Como organizar esses intervalos está no artigo sobre repetição espaçada.

Se quiser treinar no seu ritmo, o tutor de IA cria variações mais difíceis e passa por cada erro com você, como se vê em tutor de IA para crianças.

Pitágoras inteiro cabe numa pergunta feita antes de qualquer conta: onde está o ângulo reto? O resto vem depois. E aí na sua casa, o tropeço costuma ser na fórmula ou no desenho?