Matemáticas 3º ESO: ejercicios resueltos

Tres meses antes del primer parcial, una madre me escribió por correo: su hija de 3º ESO había sacado un 3,2 y estaba convencida de que «las mates no son lo suyo». Cuando la revisé con ella, el diagnóstico fue rápido. No tenía un problema de capacidad. Intentaba resolver ecuaciones sin haber consolidado el álgebra. Construía sobre arena.

Ocho años como orientadora en el IES Ramiro de Maeztu me han enseñado que el fracaso en matemáticas de la ESO rara vez es falta de talento. Casi siempre es falta de orden en la práctica. Demasiados estudiantes hacen ejercicios de forma aleatoria, sin trabajar los bloques en la secuencia correcta.

Esta guía recorre los cuatro bloques con ejercicios tipo resueltos, los errores más frecuentes y el orden en que atacarlos.

Lo que hay que dominar en matemáticas 3º ESO

Los cuatro bloques fundamentales son álgebra y polinomios, ecuaciones de primer y segundo grado, funciones lineales y cuadráticas, y geometría. Estos temas cubren entre el 75 y el 85% del contenido evaluable según el currículo del Ministerio de Educación y Formación Profesional. El orden no es arbitrario: el álgebra sostiene las ecuaciones, las ecuaciones sostienen las funciones, y todo reaparece en la geometría analítica de 4º ESO.

Antes de empezar, el diagnóstico: repasa los últimos controles y localiza qué tipo de errores cometes. ¿Son errores de operatoria (cambios de signo, fracciones mal simplificadas)? ¿O de comprensión del enunciado? La respuesta cambia completamente el plan de trabajo.

Bloque 1: Álgebra y polinomios

Qué entra en el examen

Las operaciones con polinomios (suma, resta, producto) y las identidades notables aparecen en casi todos los exámenes de tercero. La división de polinomios, especialmente la regla de Ruffini, suele valer un punto completo. La factorización es la parte que más viaja hasta Bachillerato: si no está bien asentada en 3º, los problemas en 4º ESO se acumulan con interés.

Ejercicio tipo: factorización con Ruffini

Factoriza: P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Paso 1. Busca raíces racionales probando los divisores del término independiente (±1, ±2, ±3, ±6).

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → x = 1 es raíz ✓

Paso 2. Aplica Ruffini con x = 1:

1 | 1  -6   11  -6
  |     1   -5   6
  | 1  -5    6   0

Cociente: x² - 5x + 6

Paso 3. Factoriza el cociente:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Resultado: P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

El error más repetido en este tipo de ejercicio es calcular P(1) mentalmente y equivocarse en el signo. Mi recomendación, que doy a todos los alumnos que preparan este bloque: escribe la sustitución completa siempre, aunque te parezca redundante. El tiempo que pierdes escribiendo lo recuperas en errores que no tienes que corregir después.

Bloque 2: Ecuaciones

Primer grado: ¿está consolidado del año pasado?

Las ecuaciones de primer grado en 3º ESO deberían estar asentadas del año anterior. Si no es así, tres días de repaso con técnicas de estudio que realmente funcionan antes de pasar al segundo grado valen más que una semana entera bloqueado a mitad del temario.

Ecuaciones de segundo grado: la fórmula no es el problema

ax² + bx + c = 0
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Los estudiantes memorizan la fórmula sin dificultad. Lo que falla viene después:

• Discriminante negativo (b² - 4ac < 0): no hay solución real. Muchos siguen operando e intentan extraer una raíz de un número negativo sin darse cuenta de lo que eso implica.
• Discriminante igual a cero: hay exactamente una solución (doble), no «ninguna».
• Ecuaciones que requieren transformación previa: x⁴ - 5x² + 4 = 0 es una ecuación bicuadrada. Hay que sustituir t = x² antes de aplicar la fórmula general.

Ejercicio tipo: ecuación de segundo grado con contexto

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85. ¿Cuáles son?

Sean los números n y n + 1.

n² + (n + 1)² = 85
n² + n² + 2n + 1 = 85
2n² + 2n - 84 = 0
n² + n - 42 = 0

Aplicando la fórmula: n = (-1 ± √(1 + 168)) / 2 = (-1 ± 13) / 2

n = 6 o n = -7.

Soluciones: {6, 7} y {-7, -6}. Verificación: 6² + 7² = 36 + 49 = 85 ✓

Lo que falla aquí casi siempre: olvidar la solución negativa. En un enunciado sin restricciones de signo, las dos soluciones son correctas. Dar solo la positiva son medio punto perdido por no leer bien la pregunta.

Bloque 3: Funciones lineales y cuadráticas

El informe PISA 2022 (OCDE, diciembre 2022) registró en España un descenso notable en matemáticas, especialmente en interpretación de gráficas y razonamiento funcional. No es un dato que sorprenda a quien trabaja en un IES. Las funciones se explican, pero rara vez se practican con suficiente trabajo visual previo al cálculo.

El consejo que doy a todos los estudiantes que oriento: dibuja la gráfica antes de calcular. Para y = 2x - 3, calcula tres puntos, represéntalos en papel cuadriculado y únelos. Ese minuto de trabajo visual vale más que memorizar pendiente e intersección de forma abstracta.

Función cuadrática: del cálculo al dibujo

Para y = x² - 4x + 3:

Vértice: x_v = -b / 2a = 4/2 = 2, y_v = 4 - 8 + 3 = -1 → Vértice en (2, -1)

Raíces: x² - 4x + 3 = 0 → x = 1 y x = 3

Eje de simetría: x = 2. La parábola corta el eje X en x = 1 y x = 3, con mínimo en (2, -1).

Representar esos puntos antes de cualquier cálculo adicional cambia la comprensión. Lo he comprobado con decenas de estudiantes: quienes dibujan antes de calcular cometen la mitad de errores en los ejercicios de funciones.

Practicar funciones distribuidas en varias sesiones cortas también mejora la retención. La repetición espaciada aplicada a matemáticas no es una técnica sofisticada: es simplemente resolver cinco ejercicios hoy, cinco pasado mañana y cinco en cuatro días, en lugar de quince el mismo sábado.

Bloque 4: Geometría

Teorema de Pitágoras y sus variantes

El teorema básico (a² + b² = c²) rara vez es el problema. Lo que falla son tres situaciones recurrentes:

1. Triángulos que no están en posición estándar (la hipotenusa no está abajo ni es obvia)
2. Problemas en los que hay que calcular la altura de un triángulo isósceles antes de aplicar Pitágoras
3. Ejercicios combinados donde la hipotenusa es una expresión algebraica como x + 2

Conozco a dos hermanos del IES, con dos años de diferencia, que suspendieron el mismo tipo de problema de geometría en años distintos. Cuando los orienté por separado, el fallo era idéntico en los dos casos: ninguno dibujaba. Leían el enunciado, recordaban la fórmula e intentaban operar directamente. Sin dibujo, los errores de interpretación son inevitables.

Regla sin excepción: ante cualquier problema de geometría, dibuja antes de calcular.

Áreas y volúmenes: las fórmulas del examen

Las que aparecen con más frecuencia en 3º ESO:

• Prisma triangular: área base × altura (con área base = base × altura del triángulo / 2)
• Cilindro: π r² h
• Pirámide: (área base × altura) / 3
• Cono: (π r² h) / 3

Para el área lateral, lo más habitual es trabajar con el desarrollo plano. Henry Roediger y Jeffrey Karpicke (2006, Washington University) demostraron que intentar recuperar información de memoria mejora la retención a largo plazo en aproximadamente un 80% respecto a la relecture pasiva. Para las fórmulas de geometría, esto es tan concreto como cubrir la lista con un papel y tratar de escribirlas de memoria antes de cada sesión de práctica.

Los errores que arruinan los exámenes

He visto los mismos patrones repetirse durante años. No son errores de contenido. Son errores de proceso.

Saltarse los pasos intermedios. En matemáticas de ESO, el proceso vale tanto como el resultado. Un alumno que llega a la respuesta correcta pero borra el desarrollo pierde puntos aunque tenga razón. Los profesores correctorean el razonamiento, no solo el número final.

No revisar las unidades. Calcular un área en centímetros y dar el resultado en metros cuadrados sin conversión es uno de los errores más costosos y más fáciles de evitar con una revisión de diez segundos.

Resolver el problema que imaginan, no el que dice el enunciado. Lo veo constantemente: el enunciado pide el perímetro, el alumno calcula el área porque «era lo que esperaba después de ese tipo de ejercicio». Subrayar la pregunta antes de empezar no es un truco infantil. Funciona.

Si estás en el tramo final del trimestre y necesitas cerrar lagunas rápido, el artículo sobre cómo estudiar para un examen con poco tiempo tiene estrategias para priorizar cuando los días aprietan.

Para quien quiere repasar estos bloques con ejercicios guiados en tiempo real, las clases particulares de matemáticas para 3º ESO de EduBoost trabajan exactamente este tipo de problema, con corrección inmediata en cada paso.

Para cerrar

La alumna con el 3,2 del principio llegó a un 6,8 en el siguiente parcial. Sin tutoría extraordinaria, sin cambiar el libro. Con tres semanas de práctica estructurada: álgebra antes de ecuaciones, ecuaciones antes de funciones, geometría con dibujo previo siempre.

Los errores en matemáticas de 3º ESO casi siempre tienen una causa más sencilla de lo que parece. El problema rara vez es la inteligencia. Casi siempre es saltarse pasos, practicar en el orden equivocado o no dibujar. Eso se puede corregir.