Teorema di Pitagora spiegato semplice (con esempi)

Insegno italiano e latino al liceo, quindi sì: parlo di Pitagora senza avere la cattedra di matematica. Ma il mio collega Marco mi ha raccontato una scena che riconosco subito, perché è un problema di lingua prima ancora che di numeri. Matteo, primo anno, recitava il teorema a memoria senza un'esitazione: «il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti». Marco gli ha chiesto che cosa significasse «equivalente». Silenzio. Poi gli ha disegnato un triangolo ruotato di lato, con l'ipotenusa in verticale, e Matteo ha sommato i due lati più corti come se niente fosse. Aveva imparato una frase, non un'idea.

Il teorema di Pitagora dice che, in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti. In formula a² + b² = c², dove c è il lato opposto all'angolo retto. Serve a calcolare un lato che manca, e la sua versione inversa a controllare se un angolo è davvero retto.

Quadrati, non lunghezze: l'idea dietro la formula

La parola chiave è «quadrato», e va presa alla lettera. Disegna un triangolo rettangolo e costruisci su ogni lato un quadrato vero, largo quanto quel lato. L'area del quadrato sull'ipotenusa coincide con la somma delle aree degli altri due. Ecco cosa vuol dire «equivalente»: stessa superficie, forma diversa. a² è un'area che puoi colorare con l'evidenziatore, non un numero astratto.

Provaci su un foglio a quadretti con il triangolo 3-4-5. Un quadrato di 9 quadretti, uno di 16, uno di 25. E 9 + 16 fa 25. Si conta con il dito, e la formula smette di essere una filastrocca.

Una curiosità storica, perché in ogni classe qualcuno la chiede. Pitagora molto probabilmente non scoprì questa relazione. Su una tavoletta d'argilla babilonese chiamata Plimpton 322 (circa 1800 a.C., oggi alla Columbia University) compaiono terne di numeri che la rispettano. La dimostrazione scritta più antica che ci sia arrivata è di Euclide, negli Elementi, libro I, proposizione 47.

Tre esempi, dal più semplice al più utile

Esempio 1: si cerca l'ipotenusa

Un triangolo rettangolo ha i cateti di 9 cm e 12 cm. Quanto misura c?

c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, quindi c = √225 = 15 cm.

Chi cerca l'ipotenusa somma. E 15 è maggiore di 9 e di 12, come deve essere.

Esempio 2: si cerca un cateto

L'ipotenusa misura 17 cm e un cateto 8 cm. Quanto misura l'altro cateto b?

b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, quindi b = √225 = 15 cm.

Qui si sottrae, perché l'ipotenusa porta il quadrato più grande e gli altri due, insieme, devono arrivare esattamente a quello. È l'errore più frequente in assoluto e ci torno tra poco.

Esempio 3: la scala contro il muro

Una scala lunga 6 m è appoggiata a un muro e la sua base dista 1,2 m dalla parete. A che altezza arriva?

La scala è l'ipotenusa, perché sta di fronte all'angolo retto formato da pavimento e muro. Quindi h² = 6² − 1,2² = 36 − 1,44 = 34,56 e h = √34,56 ≈ 5,88 m.

Quel «≈» conta. √34,56 non è un numero tondo, quindi scrivi che hai arrotondato e metti l'unità di misura. I problemi con il testo lungo sono proprio quelli che escono nelle verifiche, e se vuoi allenarti ne trovi altri risolti passo passo negli esercizi di matematica per la terza media e l'INVALSI.

L'errore che costa più punti

Quasi tutti gli sbagli su Pitagora che ho visto sui quaderni hanno la stessa origine: si somma sempre, per riflesso. Chi cerca un cateto e somma lo stesso ottiene, nella scala, 37,44, ne fa la radice e annuncia che la scala arriva a 6,12 m. Più lunga della scala stessa. Nessuno si ferma a pensarci.

Un controllo veloce ti salva: l'ipotenusa è sempre il lato più lungo. Se il risultato lo smentisce, hai un segno sbagliato da qualche parte.

Due trappole minori. Dimenticare la radice alla fine (scrivere 225 invece di 15, che è un'area). E scrivere (a + b)² quando volevi a² + b²: sono due cose molto diverse.

L'anno scorso una mamma di Bologna mi ha scritto tramite EduBoost. Sua figlia, 13 anni, in terza media, «sapeva» Pitagora e perdeva comunque un punto a ogni verifica. Quando abbiamo riguardato insieme i quaderni, la formula era giusta e il disegno no: la ragazza chiamava c il lato che era in basso nel disegno, sempre, anche quando il triangolo era girato e l'ipotenusa finiva in diagonale. Bastò un'abitudine sola: cerchiare il lato opposto all'angolo retto prima di toccare la calcolatrice. Due verifiche dopo il punto era tornato.

Il teorema inverso: dimostrare che un angolo è retto

Ora al contrario. Hai tre lunghezze e vuoi sapere se il triangolo è rettangolo. Prendi il lato più lungo, calcolane il quadrato, somma i quadrati degli altri due e confronta.

Con 20, 21 e 29: 29² = 841 e 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Sono uguali, quindi il triangolo è rettangolo. Con 6, 7 e 10: 6² + 7² = 85, ma 10² = 100. Non coincidono, quindi nessun angolo retto.

Da qui viene il trucco da cantiere. Un triangolo 3-4-5 fatto con una corda dà un angolo perfetto, senza goniometro.

Minitest: cinque domande

1. Un triangolo rettangolo ha i cateti di 15 cm e 20 cm. Quanto misura l'ipotenusa?
2. L'ipotenusa misura 25 cm e un cateto 7 cm. Quanto misura l'altro cateto?
3. Un triangolo con i lati 20, 21 e 29 è rettangolo?
4. Un triangolo con i lati 6, 7 e 10 è rettangolo?
5. Un tablet è largo 24 cm e alto 18 cm. Quanto misura la sua diagonale?

Soluzioni: 1) 25 cm (225 + 400 = 625). 2) 24 cm (625 − 49 = 576). 3) Sì (400 + 441 = 841 = 29²). 4) No (36 + 49 = 85, non 100). 5) 30 cm (576 + 324 = 900).

Se ne sbagli due o più, prova a spiegare a voce alta, senza giri di parole, perché nell'esempio 2 si sottrae. Se non ci riesci, il buco è lì. E per farlo restare fino alla verifica conviene ripassare poco e spesso: un problema di Pitagora ogni tre o quattro giorni rende più di dieci di fila la sera prima. Roediger e Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) hanno mostrato che mettersi alla prova fissa più della semplice rilettura. Come distanziare i ripassi lo spieghiamo nell'articolo sulla ripetizione spaziata, e trovi la definizione nel glossario. Se hai la verifica vicina, guarda anche i metodi di studio che funzionano davvero.

Per esercitarti con i tuoi tempi, il tutor IA genera varianti più difficili e ripassa ogni errore con te: guarda il tutor IA per studenti e le ripetizioni di matematica per la terza media. Se preferisci una persona in carne e ossa, c'è la pagina delle ripetizioni di matematica.

Tutto Pitagora si riduce a una domanda da farsi prima di ogni calcolo: dov'è l'angolo retto? Il resto viene da sé. E a casa tua, che cosa sbaglia più spesso, la formula o il disegno?