Frações explicadas de forma simples: exemplos e teste

Durante oito anos, numa sala de reforço escolar na Zona Leste de São Paulo, eu abria a primeira aula de frações com a mesma pergunta para a turma do 5º ano: quem prefere 1/3 de pizza e quem prefere 1/4? Todo ano, uma boa parte das mãos subia para 1/4. Não eram só os alunos com dificuldade em matemática. Aí eu desenhava duas pizzas no quadro, uma cortada em três fatias e outra em quatro, e esperava. Quase sempre alguém lá do fundo falava baixinho: "Ah, mas a de três é mais grossa."

Frações explicadas de forma simples começam exatamente nesse momento: primeiro dividir, depois calcular.

Uma fração é uma divisão em partes iguais: o denominador (embaixo do traço) diz em quantas partes iguais o inteiro foi cortado, e o numerador (em cima do traço) diz quantas partes você pegou. Em 3/4, o inteiro foi cortado em quatro partes iguais e você pegou três. Quanto maior o denominador, menor cada parte.

Por que 1/4 parece maior que 1/3

Desde o 1º ano, a criança aprende uma regra que nunca falhou: o número maior é o maior. 8 é mais que 4, 50 é mais que 5. Um dia aparecem dois números empilhados e ela aplica a regra em cada um separadamente. Yujing Ni e Yong-Di Zhou (2005, Educational Psychologist) chamam isso de whole number bias, a tendência de tratar uma fração como se fossem dois números inteiros soltos: doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3. Tem pouco a ver com inteligência. Uma regra que funcionou por quatro anos é usada num lugar onde ela parou de funcionar.

O que está em jogo vai além da próxima prova. Robert Siegler e colegas (2012, Psychological Science) analisaram dois grandes estudos que acompanharam crianças por anos, um nos Estados Unidos e outro no Reino Unido. O que as crianças sabiam sobre frações e divisão aos 10 anos previa o desempenho em álgebra e matemática no ensino médio, cinco ou seis anos depois. A relação se manteve mesmo controlando QI, memória de trabalho e escolaridade e renda dos pais: doi.org/10.1177/0956797612440101.

É uma correlação, e uma noite de exercícios de fração não vai levantar a nota de ninguém no 2º ano do médio. Mesmo assim, reconheço o padrão. Fração é a dobradiça entre a aritmética do fundamental I e as letras que aparecem no 7º ano, e quando essa dobradiça emperra, a porta não abre direito. Via isso todo ano com alunos que iam bem até o 5º ano e travavam em x/2 + x/3. E elas não somem depois: razão, proporção e porcentagem seguem caindo em prova até o fim do médio, como dá para ver nos exercícios de matemática do ENEM com questões resolvidas.

Frações explicadas: o denominador dá o nome, o numerador conta

Pegue uma tira de papel ou uma pizza de verdade. Corte em quatro partes iguais: são quartos. Pegue três e você tem três quartos, que se escreve 3/4.

Ajuda levar as palavras a sério. Denominador vem de denominar: ele dá o nome das partes, como "laranjas" em "três laranjas". Numerador vem de numerar: ele conta quantas dessas partes você tem. Dessas duas palavras saem regras que deixam de parecer capricho da professora:

• Só se somam partes com o mesmo nome. Três oitavos mais dois oitavos são cinco oitavos.
• Mais partes significam partes mais finas. Por isso 1/5 é menor que 1/3: cinco pessoas dividem a mesma barra de chocolate em vez de três.
• Uma fração pode passar de 1. 5/4 são cinco quartos, ou seja, um inteiro e mais um quarto.
• O denominador nunca é zero, porque ninguém corta uma pizza em zero pedaços.

Você já usa no dia a dia

Em português, os nomes das partes estão na boca de todo mundo: "meia pizza", "meio quilo de carne", "um terço da conta", "um quarto do caminho". Depois do décimo, o português ainda tem um jeito próprio de dar nome aos pedaços: onze avos, doze avos, quinze avos. "Cinco doze avos" é só um nome de pedaço, igual a "cinco quartos". A vida real chega antes do caderno.

Existe uma condição, e ela é a primeira a ir embora quando a criança desenha com pressa: as partes precisam ser iguais. Uma pizza cortada no olho, com uma fatia enorme e três migalhas, não dá quartos, por mais que tenha quatro pedaços.

Em que ano isso aparece?

Para quem tem filho na escola e quer se situar: pela BNCC, as ideias de metade, terça parte e quarta parte começam por volta do 3º ano, quase sempre com desenhos e situações de repartir. No 4º ano entram as frações unitárias mais usadas, como 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 e 1/10. No 5º ano a criança compara, ordena, acha frações equivalentes e liga tudo aos números decimais e à porcentagem. Somar e subtrair com denominadores diferentes costuma ficar para o 6º ano. Se o seu filho está adiantado ou atrasado em relação ao que descrevo, provavelmente a escola segue outra sequência de material.

Três exemplos, do simples ao útil

Exemplo 1: comparar duas frações

O que é maior, 3/5 ou 3/8? Nos dois casos você pega três pedaços, mas quintos são maiores que oitavos, então 3/5 ganha. Pense na pizza: cortada em cinco, cada fatia é maior do que cortada em oito.

Mais difícil: 3/4 ou 5/8? Agora as partes não têm o mesmo nome. Corte cada quarto ao meio e você ganha dois oitavos, então 3/4 = 6/8. Como 6/8 é mais que 5/8, 3/4 ganha. Duas tiras de papel do mesmo tamanho, uma dobrada em quatro e outra em oito, mostram isso em dez segundos.

Exemplo 2: fração de uma quantia

A Rafaela juntou R$ 24 da mesada e gastou 3/8 num presente para o irmão. Quanto ela gastou?

O denominador diz em quantas partes iguais você divide os R$ 24: 24 ÷ 8 = R$ 3 por oitavo. O numerador diz quantas partes você pega: 3 × 3 = 9. A Rafaela gastou R$ 9 e ficou com R$ 15, que são justamente os 5/8 restantes (5 × 3 = 15). Primeiro divide, depois multiplica. Ao contrário também dá certo, mas aí se faz conta com números grandes à toa.

Exemplo 3: somar numa receita

A receita de bolo de fubá da minha avó pede 3/4 de xícara de leite e 1/2 xícara de óleo. Quanto líquido vai na massa?

As partes de novo não têm o mesmo nome, então é preciso achar um nome em comum: meia xícara são dois quartos, ou seja, 1/2 = 2/4. Aí 3/4 + 2/4 = 5/4 de xícara, uma xícara inteira e mais um quarto. Em muitas escolas essa conta só aparece no 6º ano. Coloco aqui mesmo assim, porque a criança encontra esse problema na cozinha de casa bem antes.

O erro que volta todo ano

1/2 + 1/3 = 2/5. Já vi isso em mais cadernos do que consigo contar. A criança soma em cima com em cima e embaixo com embaixo, como faria com números inteiros, e o whole number bias ataca de novo.

A verificação que resolve na hora: 1/2 + 1/2. Somando os denominadores também, você chega a 2/4, meia pizza. Duas metades de pizza que juntas dão meia pizza: não tem como estar certo. Quando o resultado contradiz o desenho da divisão, tem erro em algum lugar.

Uma variação que aparece muito: 3/8 + 2/8 = 5/16. "Oitavo" é um nome, e nome não se soma, então o denominador fica igual.

No ano passado, uma mãe de Guarulhos me escreveu pelo EduBoost. O filho dela, o Enzo, 10 anos, no 5º ano, fazia as somas de frações "no chute" e errava metade. Pedi que ela perguntasse a ele quanto dava 1/2 + 1/2. "Dois quartos", ele respondeu. E logo depois, rindo: "Então é uma pizza inteira." Foi ali que o erro ficou visível para ele. Sugeri um único hábito: falar em voz alta "três oitavos mais dois oitavos" antes de fazer a conta. Umas semanas depois, a mãe contou que os erros de denominador tinham quase sumido. Se funciona assim com toda criança, eu não sei. Com o Enzo, a virada veio quando o nome do pedaço voltou a querer dizer alguma coisa.

Minha opinião, e posso estar errada: o "mínimo múltiplo comum" e as regras de reduzir ao mesmo denominador só deveriam entrar quando a criança consegue explicar com uma tira de papel por que está fazendo aquilo. Na prática, quase sempre vejo a ordem invertida.

Miniteste: cinco questões

1. Uma pizza foi cortada em 8 fatias iguais e você comeu 3. Que fração você comeu?
2. O que é maior: 1/6 ou 1/10?
3. Quanto é 2/5 de 40?
4. Calcule 5/12 + 4/12.
5. Um aluno escreveu 3/4 + 1/8 = 4/12. O que deu errado e qual é a resposta certa?

Gabarito: 1) 3/8. 2) 1/6 (sextos são maiores que décimos). 3) 16 (40 ÷ 5 = 8 e 2 × 8 = 16). 4) 9/12, que simplificado dá 3/4 (o denominador fica igual). 5) O aluno somou numerador com numerador e denominador com denominador. Primeiro transforme 3/4 em 6/8; aí 6/8 + 1/8 = 7/8. O resultado 4/12 equivale a 1/3, que é menos que 3/4: impossível, já que você somou alguma coisa.

Errou duas ou mais? Pegue a tira de papel de novo e refaça os exemplos antes de seguir. Se conseguir explicar a divisão para outra pessoa, aprendeu. Frações também são a base de muita coisa que vem depois, inclusive das contas com raiz e quadrado do teorema de Pitágoras explicado passo a passo.

Fração gruda melhor com pouco e várias vezes do que com tudo na véspera da prova: dez minutos a cada dois ou três dias rendem mais que uma hora seguida. Henry Roediger e Jeffrey Karpicke (2006, Universidade de Washington, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraram que se testar fixa mais do que reler. Como distribuir as revisões está no artigo sobre repetição espaçada, e a definição curta fica no glossário. Para sessões curtas que a criança aguenta sem brigar, a técnica Pomodoro dá uma estrutura simples.

Se a criança quiser treinar no próprio ritmo, o tutor de IA do EduBoost cria variações mais difíceis e repassa cada erro com ela: veja tutor de IA para crianças e as aulas particulares de matemática para o 5º ano. Prefere alguém de carne e osso do lado? Aí entram as aulas particulares de matemática.

De volta à pizza

Na minha sala, quando eu desenhava as duas pizzas no quadro, a explicação não mudava em nada. Nenhuma regra nova entrava. Os alunos simplesmente viam, e quase sempre um deles dizia antes de mim que os quintos tinham de ser mais finos que os terços. Eu só precisava ficar quieta.

É isso que levo de todas essas horas: perde-se menos tempo dobrando papel do que repetindo uma regra que a criança não consegue enxergar. Frações explicadas de forma simples se resumem à passagem do "eu sei a regra" para o "eu estou vendo". E na sua casa, quando a fração sai errada: você repete a regra ou pega a faca e a pizza?