Equazioni di primo grado spiegate con la bilancia

Una sera di novembre, quattro anni fa, Tommaso mi chiamò in cucina con la faccia di chi ha già perso. Seconda media, dodici anni, prime equazioni di primo grado. Sul quaderno aveva scritto 2x = 14 e sotto, con la sua grafia stretta, x = 14 − 2 = 12.

«Il 2 va dall'altra parte e cambia segno», mi spiegò. «Lo dice la prof.»

Gli chiesi di controllare: due per dodici. Ventiquattro. Rimase zitto un bel pezzo. Poi, quasi offeso: «Ma la regola dice così.»

La regola la sapeva a memoria. Gli mancava l'immagine che la tiene in piedi, e senza quella si applica a occhi chiusi. Le equazioni di primo grado spiegate con una bilancia smettono di essere un gioco di prestigio in cui i numeri saltano da una parte all'altra del segno uguale.

Un'equazione di primo grado è un'uguaglianza tra due espressioni con un'incognita, di solito x, senza esponenti. Risolverla vuol dire trovare il valore di x che rende uguali i due membri. Si fa la stessa operazione a sinistra e a destra, come su una bilancia in equilibrio, fino a lasciare x da sola; poi si verifica sostituendo.

Equazioni di primo grado: prima di tutto il segno uguale

Dalla prima elementare un bambino scrive 3 + 4 = 7. L'operazione a sinistra, il risultato a destra, per cinque anni di fila. Il segno «=» finisce per significare «adesso scrivi quello che viene», come il tasto della calcolatrice. Un'equazione chiede un'altra lettura: i due membri valgono lo stesso numero, punto.

Eric Knuth e colleghi (2006, Journal for Research in Mathematics Education) hanno chiesto a 177 studenti statunitensi di scuola media, tra gli 11 e i 14 anni, che cosa significhi il segno uguale. Chi lo leggeva come una relazione tra due membri risolveva le equazioni meglio degli altri: scheda ERIC EJ765485. Nicole McNeil e Martha Alibali (2005, Child Development) hanno mostrato che l'abitudine «calcola e scrivi il risultato dopo l'uguale» ostacola l'apprendimento delle equazioni, e l'effetto è comparso anche con studenti universitari: doi.org/10.1111/j.1467-8624.2005.00884.x.

Con l'intelligenza c'entra poco. È un'abitudine che ha funzionato per anni e che a dodici anni smette di servire. Stessa dinamica delle frazioni, dove «il numero più grande è il più grande» crolla davanti a 1/8 e 1/4: ne ho parlato nelle frazioni spiegate semplici, e i due inciampi sono parenti stretti.

Una nota per le famiglie, perché la domanda arriva sempre. In molte scuole le equazioni di primo grado si presentano in seconda media, con numeri semplici e un passaggio solo, e si approfondiscono in terza con parentesi, frazioni e problemi di testo, per poi tornare nel biennio delle superiori. Dipende dalla scuola e dal libro: se tuo figlio è più avanti o più indietro di quanto scrivo, nessun allarme. Per la terza media c'è la guida agli esercizi di matematica per la terza media e l'INVALSI.

Passo 1: leggi l'equazione come una bilancia

Immagina una bilancia a due piatti, di quelle del mercato. Sul piatto sinistro tre sacchetti chiusi, con lo stesso numero di biglie ciascuno, più cinque biglie sciolte. Sul destro, venti biglie sciolte. La bilancia è in equilibrio. Quante biglie ci sono in un sacchetto?

È 3x + 5 = 20. Il piatto sinistro è il primo membro, quello destro il secondo. Tutta la regola sta in una riga: quello che fai su un piatto lo fai sull'altro.

Sul libro di testo si chiamano primo principio di equivalenza (aggiungi o togli lo stesso numero a entrambi i membri) e secondo principio (moltiplica o dividi entrambi per lo stesso numero, diverso da zero). Dietro i nomi ufficiali c'è la bilancia, tutto qui.

Passo 2: disfa le operazioni in ordine inverso

3x + 5 si costruisce in due mosse: prima si moltiplica x per 3, poi si somma 5. Per tornare indietro si fa al contrario. Per mettere calzini e scarpe si comincia dai calzini; per toglierli si comincia dalle scarpe.

Quindi togli 5 da entrambi i piatti: 3x = 15. Poi dividi entrambi per 3: x = 5. Verifica: 3 · 5 + 5 = 20. Torna.

Una variante, 2x − 9 = 7. Qui sul piatto manca qualcosa (− 9) e per riequilibrare lo restituisci: aggiungi 9 a entrambi i membri, 2x = 16, poi dividi per 2, x = 8. Verifica: 2 · 8 − 9 = 7. Il primo scivolone tipico è togliere 9 invece di aggiungerlo, perché c'era un 9 e il riflesso è farlo sparire.

Nelle prime settimane molti insegnanti chiedono di scrivere l'operazione accanto a entrambi i membri:

3x + 5 − 5 = 20 − 5

È più lento, certo. È anche ciò che avrebbe risparmiato a Tommaso il suo 14 − 2.

Passo 3: quando la x sta su entrambi i piatti

Questo esempio ai ragazzi piace perché somiglia a una scelta vera. In riva al Garda due negozi noleggiano biciclette. Il negozio A chiede 8 € fissi più 3 € all'ora. Il negozio B non chiede niente di fisso, ma 5 € all'ora. Dopo quante ore costano uguale?

Se x sono le ore, il negozio A costa 3x + 8 e il negozio B costa 5x. Si uguaglia: 3x + 8 = 5x.

Ora la x è da entrambe le parti. Togli 3x a entrambi i membri: 8 = 2x. Dividi per 2: x = 4.

Verifica: negozio A, 3 · 4 + 8 = 20 €. Negozio B, 5 · 4 = 20 €. Con quattro ore è lo stesso. Sotto le quattro ore conviene B, sopra conviene A. L'equazione dà un numero e in più ti dice dove cambia la convenienza.

Passo 4: verifica sempre, e non spaventarti se la x sparisce

La verifica (nel senso di controllo, non del compito in classe, anche se in Italia la parola fa sempre un po' paura) è il passo che i ragazzi saltano più volentieri. Si sostituisce il risultato nell'equazione del testo, non in una riga di mezzo. Dieci secondi.

A volte, mentre risolvi, la x scompare. Prendi x + 3 = x + 5. Togli x a entrambi i membri e resta 3 = 5, che è falso: l'equazione è impossibile, nessun numero la soddisfa. Prendi 2x + 4 = 2(x + 2). Sviluppi la parentesi, togli 2x e resta 4 = 4, sempre vero: l'equazione è indeterminata, va bene qualsiasi numero. In terza media saltano fuori nelle verifiche perché i ragazzi, vedendo sparire la x, pensano di aver sbagliato. Non hanno sbagliato.

Gli errori che sabotano le equazioni di primo grado

Nei quaderni dei miei figli e dei loro compagni, quando ci si metteva a studiare insieme in salotto, gli errori erano sempre gli stessi:

• Quello di Tommaso: in 2x = 14 il 2 «passa di là» e diventa una sottrazione. Se in origine moltiplicava la x, di là diventa una divisione.
• Il segno perso. In −2x = 10 si divide per 2 invece che per −2 e viene x = 5. La verifica lo smaschera, perché −2 · 5 fa −10, non 10.
• L'ordine rovesciato, più raro ma pesante: in 3x + 5 = 20 si divide per 3 soltanto il 3x e si scrive x + 5 = 20. Salta fuori x = 15, che alla verifica dà 50, non 20.
• E poi quello che li contiene tutti: non verificare.

La mia opinione, e so che molti colleghi non la condividono: la regola del trasporto, «porta di là e cambia segno», andrebbe vietata nelle prime settimane. Fate scrivere l'operazione su entrambi i membri finché non annoia. Quando il ragazzo la vede da solo, usi pure la scorciatoia. Al contrario l'ho vista incepparsi troppe volte.

L'anno scorso mi ha scritto, tramite EduBoost, una mamma di Bologna. Sua figlia Marta, seconda media, aveva preso 4,5 alla prima verifica sulle equazioni e faceva i compiti piangendo, perché «i numeri si spostano e io non so dove vanno». Le ho proposto due cambiamenti piccoli. Per due settimane, scrivere l'operazione su entrambi i membri, senza scorciatoie. E controllare sempre sostituendo nell'equazione del testo, anche quando l'esercizio non lo chiedeva. Alla verifica successiva Marta ha preso 6,5, mi ha raccontato la madre, e ha smesso di cancellare tutto. Non so quanto sia merito del metodo, quanto della seconda verifica (forse più facile) e quanto del fatto che si è tranquillizzata. Probabilmente un po' di tutto. Il controllo, però, lo fa ancora.

Minitest: cinque equazioni

1. x + 9 = 15
2. 5x = 35
3. 3x − 4 = 11
4. 7x + 2 = 4x + 14
5. Un alunno scrive −2x = 10, poi x = 5. Dov'è l'errore?

Soluzioni: 1) x = 6 (togli 9 a entrambi i membri). 2) x = 7 (dividi per 5). 3) x = 5 (aggiungi 4, viene 3x = 15, dividi per 3). 4) x = 4 (togli 4x a entrambi i membri, viene 3x + 2 = 14, togli 2, viene 3x = 12, dividi per 3; verifica: 7 · 4 + 2 = 30 e 4 · 4 + 14 = 30). 5) Ha diviso per 2 invece che per −2. La soluzione è x = −5, perché −2 · (−5) = 10.

Se ne sbagli due o più, torna alla bilancia e rifai gli esempi a mano prima di passare agli esercizi del libro. E non rimandare alla sera prima della verifica: Roediger e Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) hanno mostrato che mettersi alla prova fissa più della semplice rilettura, e che distribuire le prove su più giorni aiuta ancora di più. Come organizzare i ripassi lo spieghiamo nell'articolo sulla ripetizione spaziata, con la definizione nel glossario.

Per esercitarti con i tuoi tempi, il tutor IA di EduBoost propone equazioni sempre nuove e rivede con te ogni passaggio, senza darti subito la soluzione. Dai un'occhiata al tutor IA per studenti e alle ripetizioni di matematica per la seconda media. Se preferisci una persona in carne e ossa, c'è la pagina delle ripetizioni di matematica.

Ritorno in cucina

Con Tommaso non feci niente di sofisticato. Presi un foglio, disegnai una bilancia con due sacchetti su un piatto e quattordici biglie sull'altro, e gli chiesi quante biglie c'erano in un sacchetto. «Sette», rispose subito. Gli chiesi di scriverlo come equazione e di annotare accanto che cosa avesse fatto con la bilancia. Scrisse 2x = 14, sotto «: 2 da entrambe le parti», e x = 7.

Guardò il suo 14 − 2 = 12 di prima e disse: «Quindi il 2 passa di là e diventa una divisione.» Io non aggiunsi niente. Meglio di così non l'ho mai sentito dire.

Le equazioni di primo grado si imparano quando il ragazzo smette di spostare numeri e comincia a vedere una bilancia. E tu, quando tuo figlio si blocca su un'equazione, gli ripeti la regola o gli disegni i due piatti?