Frazioni spiegate semplici: esempi, errori e minitest

Mio figlio maggiore, oggi sedicenne, mi fece in quarta elementare una domanda che sul quaderno non c'era. Eravamo in cucina, la focaccia del sabato ancora sulla teglia, e io (insegno italiano e latino, quindi giocavo fuori casa) gli chiesi: se la tagliamo in 4 pezzi uguali o in 8 pezzi uguali, con quale taglio ti tocca il pezzo più grosso? «In 8, mamma, sono di più», rispose senza esitare. Presi un foglio, disegnai due rettangoli e li divisi, uno in quattro e uno in otto. Tommaso guardò il disegno per un po'. Poi disse piano: «Quindi 1/8 è meno di 1/4.»

Lo sapeva già. Che a una festa con tanti invitati la torta si riduce a fettine lo sapeva da anni. Nessuno gli aveva detto che le frazioni parlano esattamente di questo.

Le frazioni spiegate semplici partono dalla spartizione: il denominatore (sotto) dice in quante parti uguali si taglia l'intero, il numeratore (sopra) quante parti si prendono. In 3/4 l'intero è tagliato in quattro parti uguali e se ne prendono tre. Più grande è il denominatore, più piccola è ogni parte.

Perché 1/8 sembra più grande di 1/4

Dalla prima elementare un bambino impara una regola che non lo ha mai tradito: il numero più grande è quello più grande. 8 batte 4, 50 batte 5. Poi arrivano due numeri impilati e la regola viene applicata a ciascuno per conto suo. Ni e Zhou (2005, Educational Psychologist) hanno descritto questa trappola come whole number bias, la tendenza a trattare le frazioni come numeri interi: doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3. L'intelligenza c'entra poco. Una regola ha funzionato per tre o quattro anni e continua a essere usata dove non vale più.

La posta in gioco supera la verifica della prossima settimana. Robert Siegler e colleghi (2012, Psychological Science) hanno analizzato due grandi banche dati che seguono i ragazzi nel tempo, una statunitense e una britannica. Ciò che sapevano di frazioni e di divisione a 10 anni prevedeva il loro livello in algebra e in matematica alle superiori, cinque o sei anni dopo, anche tenendo conto di QI, memoria di lavoro e livello di istruzione e di reddito della famiglia. L'articolo è qui: doi.org/10.1177/0956797612440101.

È una correlazione, e conviene non esagerare: non dimostra che ripassare le frazioni stasera alzi il voto in terza superiore. Però l'immagine che mi porto dietro è quella della cerniera. Le frazioni tengono insieme l'aritmetica della primaria e l'algebra delle medie, e quando la cerniera si inceppa la porta si apre male. Paola, una collega di matematica alle medie, dice di vedere quell'inceppo ogni autunno in prima media. Per chi arriva alla fine delle medie c'è la guida agli esercizi di matematica per la terza media e l'INVALSI.

Il denominatore dà il nome, il numeratore conta

Prima di scrivere qualsiasi cosa, si spartisce. Una striscia di carta o la focaccia stessa. Tagliarla in quattro parti uguali vuol dire fare quarti. Prenderne tre vuol dire avere tre quarti: 3/4.

La parola aiuta più di quanto sembri. Denominatore viene da denominare, dare un nome: è il nome della parte, come «mele» in «tre mele». Numeratore viene da numerare: conta quante parti ci sono. Da qui discendono regole che smettono di sembrare capricci dell'insegnante:

• Si sommano solo parti che hanno lo stesso nome. Tre quarti più due quarti fanno cinque quarti, come tre mele più due mele fanno cinque mele.
• Più parti vuol dire parti più sottili. Per questo 1/5 è minore di 1/3: cinque pezzi si dividono la stessa barretta.
• Una frazione può superare 1. 5/4 sono cinque quarti, cioè un intero e un quarto.
• Il denominatore non è mai 0. Nessuno taglia un intero in zero parti.

Lo facciamo già senza accorgercene: «le tre e un quarto», «mezzo chilo», «tre quarti d'ora». La vita di tutti i giorni è in anticipo sul quaderno.

C'è una sola condizione, ed è la prima a saltare quando il bambino disegna di fretta: le parti devono essere uguali. Un intero spezzettato a occhio, con un pezzo enorme e tre minuscoli, non dà quarti anche se i pezzi sono quattro.

Una nota per le famiglie, perché la domanda arriva sempre. Le prime frazioni semplici (la metà, il terzo, il quarto) compaiono nei primi anni della primaria. Tra la terza e la quarta elementare si lavora con i disegni; in quarta e in quinta si confrontano, si ordinano, si calcola la frazione di un numero e si fa il ponte con i decimali e le percentuali. La somma con denominatori diversi arriva di solito in quinta o in prima media, a seconda della scuola e del libro di testo, e in prima media si riprende tutto insieme. Se tuo figlio è più indietro (o più avanti) di quanto scrivo, probabilmente la sua scuola ha un'altra scansione.

Tre esempi, dal più semplice al più utile

Esempio 1: confrontare due frazioni

Quale è maggiore, 2/3 o 2/5? In entrambe prendi due parti, ma i terzi sono più grandi dei quinti, perciò 2/3 è maggiore di 2/5. Pensa al panino: tagliato in tre, ogni pezzo sazia più che tagliato in cinque.

Un caso più fine: 3/4 o 5/8. Le parti non hanno lo stesso nome. Ogni quarto si taglia a metà e diventa due ottavi, quindi 3/4 = 6/8. Siccome 6/8 è più di 5/8, vince 3/4. Due strisce di carta della stessa lunghezza, una piegata in quattro e una in otto, lo mostrano in dieci secondi.

Esempio 2: la frazione di una quantità

Chiara ha 24 figurine Panini e ne regala i 3/8 a una cugina. Quante ne regala?

Il denominatore dice in quanti gruppi si divide: 24 ÷ 8 = 3 figurine per ogni ottavo. Il numeratore dice quanti gruppi si prendono: 3 × 3 = 9. Ne regala 9 e ne tiene 15, che sono proprio i 5/8 rimasti (5 × 3 = 15). Prima si divide, poi si moltiplica. Anche al contrario il risultato torna, ma i numeri si gonfiano senza motivo.

Esempio 3: sommare in una ricetta

Per un budino servono 3/4 di litro di latte e 1/2 litro di panna. Quanto liquido c'è in tutto?

Le parti non hanno lo stesso nome, quindi serve un nome comune: un mezzo è due quarti, 1/2 = 2/4. Allora 3/4 + 2/4 = 5/4 di litro, cioè 1 litro e 1/4. In molte scuole questa somma resta per la fine della quinta o per la prima media. La metto qui perché è la situazione in cui i bambini si imbattono davvero in cucina.

L'errore sulle frazioni che torna ogni anno

1/2 + 1/3 = 2/5. L'ho visto in più quaderni di quanti ne sappia contare, quelli dei miei figli compresi. L'alunno somma sopra, somma sotto, come con i numeri interi, e il bias colpisce di nuovo.

La prova di buon senso che lo risolve: 1/2 + 1/2. Se sommi anche i denominatori ottieni 2/4, che è una metà. Due metà che danno una metà non stanno in piedi, perché due metà di pizza sono una pizza. Appena un risultato contraddice il disegno della spartizione, da qualche parte c'è un errore.

Variante frequente: scrivere 3/8 + 2/8 = 5/16. «Ottavo» è un nome, non un numero che si accumula, e per questo non si muove.

L'anno scorso mi ha scritto, tramite EduBoost, una mamma di Torino. Suo figlio, 10 anni, quinta elementare, faceva le somme di frazioni «a memoria» e ne sbagliava la metà. Le ho chiesto di domandargli quanto fa 1/2 + 1/2. «Due quarti», ha risposto lui. E subito dopo, ridendo da solo: «Cioè, è una pizza intera.» Per lui è stato quello il momento in cui ha visto l'errore. Gli ho proposto un'abitudine: dire ad alta voce «tre ottavi più due ottavi» prima di calcolare. Dopo qualche settimana, mi ha raccontato la mamma, gli errori sul denominatore erano quasi spariti. Non so se funzioni allo stesso modo con tutti i bambini, ma con lui la svolta è arrivata quando il nome della parte ha ricominciato a significare qualcosa.

La mia opinione, e posso sbagliarmi: l'algoritmo del denominatore comune non andrebbe insegnato finché il bambino non sa spiegare con una striscia di carta perché serve. L'ho quasi sempre visto fare al contrario.

Minitest: cinque domande

1. Una pizza ha 12 fette uguali e ne mangi 5. Che frazione hai mangiato?
2. Quale è maggiore, 1/5 o 1/9?
3. Quanto fanno i 3/4 di 60?
4. Calcola 4/9 + 2/9.
5. Un alunno scrive 2/3 + 1/6 = 3/9. Dov'è l'errore e qual è il risultato giusto?

Soluzioni: 1) 5/12. 2) 1/5 (i quinti sono più grandi dei noni). 3) 45 (60 ÷ 4 = 15 e 3 × 15 = 45). 4) 6/9, che si semplifica in 2/3 (il denominatore non cambia). 5) Ha sommato numeratori con numeratori e denominatori con denominatori. Bisogna scrivere 2/3 = 4/6, e allora 4/6 + 1/6 = 5/6. Il 3/9 uscito vale 1/3, meno di 2/3: impossibile aggiungendo qualcosa.

Se ne sbagli due o più, riprendi la striscia di carta e rifai gli esempi a mano prima di passare alle schede. Le frazioni si fissano male se studiate tutte insieme la sera prima della verifica, mentre dieci minuti ogni pochi giorni rendono molto di più. Roediger e Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) hanno mostrato che mettersi alla prova fissa più della semplice rilettura. Come distanziare i ripassi lo spieghiamo nell'articolo sulla ripetizione spaziata, con la definizione nel glossario. E quando i pomeriggi di compiti diventano in salita, c'è la guida per aiutare tuo figlio con i compiti.

Per esercitarti con i tuoi tempi, il tutor IA di EduBoost genera varianti più difficili e rivede ogni errore insieme a te. Guarda il tutor IA per studenti e le ripetizioni di matematica per la quinta elementare. Se preferisci una persona in carne e ossa, c'è la pagina delle ripetizioni di matematica.

Ritorno alla cucina

Con Tommaso non feci niente di più sofisticato di un foglio e un pennarello. Quella settimana rifacemmo insieme le somme con strisce di carta colorata, ed è stato lui a dire per primo, prima che aprissi bocca, che i quinti dovevano essere più sottili dei terzi. Io non aggiunsi niente.

È quello che mi porto via da quell'ora: si perde meno tempo a piegare carta che a ripetere una regola che il bambino non vede. Le frazioni spiegate semplici si giocano nel passaggio da «so la regola» a «lo vedo». E tu, quando tuo figlio sbaglia una frazione, gli ripeti la regola o gli passi le forbici?