Fracciones explicadas fácil: ejemplos, errores y minitest

Un martes de octubre, en el despacho de orientación del instituto, le hice a una alumna de 1º de ESO (la llamaré Carmen) una pregunta que no sonaba a examen. Una tortilla de patatas se puede cortar en 4 trozos iguales o en 8 trozos iguales: ¿con cuál te tocan los trozos más grandes? «Con 8, que es más», contestó sin pestañear. Cogí una servilleta, dibujé dos círculos y los partí. Carmen se quedó un rato mirando el dibujo. Luego dijo, bajito: «Entonces 1/8 es menos que 1/4.»

Lo sabía. Sabía de sobra, desde pequeña, que en un cumpleaños con muchos invitados te tocan trozos de tarta diminutos. Lo que nadie le había contado es que las fracciones hablan exactamente de eso.

Las fracciones explicadas fácil empiezan por el reparto: el denominador (abajo) dice en cuántas partes iguales se corta el entero y el numerador (arriba) cuántas de esas partes se cogen. En 3/4 se corta en cuatro partes iguales y se cogen tres. Cuanto mayor es el denominador, más pequeña es cada parte.

Por qué 1/8 parece mayor que 1/4

Desde 1º de Primaria el niño aprende una regla que nunca le ha fallado: el número más grande es el más grande. 8 es mayor que 4, 50 es mayor que 5. Y de pronto llegan dos números apilados y aplica la regla a cada uno por separado. Ni y Zhou (2005, Educational Psychologist) lo describieron como sesgo del número natural: doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3. Nada que ver con la inteligencia: una regla funcionó durante tres o cuatro años y se sigue usando donde ya no sirve.

Y el asunto pesa más que el control de la semana que viene. Robert Siegler y sus colegas (2012, Psychological Science) analizaron dos grandes bases de datos de seguimiento, una de Estados Unidos y otra del Reino Unido. Lo que los alumnos sabían de fracciones y de división hacia los 10 años predecía su nivel de álgebra y de matemáticas en secundaria, cinco o seis años después, incluso descontando el CI, la memoria de trabajo y el nivel de estudios e ingresos de la familia. El artículo está aquí: doi.org/10.1177/0956797612440101.

Es una correlación y conviene no pasarse de listo: no prueba que repasar fracciones esta tarde suba la nota de 3º de ESO. Pero yo me quedo con la imagen de la bisagra. Las fracciones unen la aritmética de Primaria con el álgebra del instituto, y cuando la bisagra chirría, la puerta cuesta más de abrir. En mis ocho años de orientadora vi ese bloqueo cada otoño, y lo cuento con más detalle en la guía de matemáticas de 1º ESO.

El denominador da nombre, el numerador cuenta

Antes de escribir nada, se reparte. Una tira de papel, una tableta de chocolate, la propia tortilla. Cortarla en cuatro partes iguales es hacer cuartos. Coger tres es tener tres cuartos: 3/4.

La palabra ayuda más de lo que parece. Denominador viene de denominar, dar nombre: es el nombre de la parte, como «manzanas» en «tres manzanas». Numerador viene de numerar: cuenta cuántas partes hay. Y con eso varias reglas dejan de ser caprichos del profe:

• Solo se suman partes que se llaman igual. Tres cuartos más dos cuartos son cinco cuartos, como tres manzanas más dos manzanas son cinco manzanas.
• Cuantas más partes, más finas. Por eso 1/5 es menor que 1/3: cinco trozos se reparten la misma barra.
• Una fracción puede pasar de 1. 5/4 son cinco cuartos, o sea un entero y un cuarto.

Todo esto ya lo usamos sin darnos cuenta: «las tres y cuarto», «un cuarto de kilo», «medio litro». La vida diaria va por delante del cuaderno.

Hay una sola exigencia, y es la primera que salta cuando el niño dibuja con prisa: las partes tienen que ser iguales. Un entero troceado a ojo, con un trozo enorme y tres raquíticos, no da cuartos aunque lleve cuatro cortes.

Una nota para las familias, porque siempre la preguntan. Las primeras fracciones sencillas aparecen en los primeros cursos de Primaria. Entre 3º y 4º se trabajan con dibujos, y en 5º y 6º se comparan, se ordenan, se calcula la fracción de una cantidad y se relacionan con decimales y porcentajes. La suma con denominadores distintos suele llegar a finales de 5º o en 6º, según el centro y la comunidad autónoma, y en 1º de ESO se retoma todo de golpe. Si tu hijo va por detrás de lo que cuento, el calendario de su colegio quizá sea otro.

Tres ejemplos, del más sencillo al más útil

Ejemplo 1: comparar dos fracciones

¿Cuál es mayor, 2/3 o 2/5? En las dos coges dos partes, pero los tercios son más grandes que los quintos. Así que 2/3 es mayor que 2/5. Imagina el bocadillo: si lo cortas en tres, cada trozo te llena más que si lo cortas en cinco.

Un caso más fino: 3/4 o 5/8. Las partes no se llaman igual. Cada cuarto se corta por la mitad y se convierte en dos octavos, así que 3/4 = 6/8. Como 6/8 es más que 5/8, gana 3/4. Dos tiras de papel del mismo largo, una doblada en cuatro y otra en ocho, lo enseñan en diez segundos.

Ejemplo 2: la fracción de una cantidad

Pablo tiene 24 cromos y regala los 3/8 a su prima. ¿Cuántos regala?

El denominador dice en cuántos grupos se reparte: 24 ÷ 8 = 3 cromos por octavo. El numerador dice cuántos grupos se cogen: 3 × 3 = 9. Regala 9 y se queda con 15, que son justo los 5/8 restantes (5 × 3 = 15). Dividir primero, multiplicar después. Al revés también sale, pero los números crecen sin necesidad.

Ejemplo 3: sumar en una receta

Una tarta de queso lleva 3/4 de litro de nata y 1/2 litro de leche. ¿Cuánto líquido hay en total?

Las partes no se llaman igual, así que hay que darles un nombre común: un medio son dos cuartos, 1/2 = 2/4. Entonces 3/4 + 2/4 = 5/4 de litro, es decir, 1 litro y 1/4 de litro. En muchos colegios esta suma queda para final de 5º o para 6º. La dejo aquí porque es justo la situación con la que los niños se cruzan en una cocina.

El error que vuelve cada curso

1/2 + 1/3 = 2/5. Lo he leído en más cuadernos de los que sabría contar. El alumno suma arriba, suma abajo, como con enteros, y el sesgo golpea otra vez.

La prueba de sentido común que lo arregla: 1/2 + 1/2. Si sumas también los denominadores te sale 2/4, que es una mitad. Dos mitades que dan una mitad no se sostienen, porque dos mitades de pizza son una pizza. En cuanto un resultado contradice el dibujo del reparto, hay un fallo en alguna parte.

Variante habitual: escribir 3/8 + 2/8 = 5/16. «Octavo» es un nombre, no un número que se acumule, y por eso no se mueve.

El curso pasado me escribió una madre desde Sevilla a través de EduBoost. Su hijo, 10 años, 5º de Primaria, hacía las sumas de fracciones «de memoria» y fallaba la mitad. Le pedí a la madre que le preguntara a su hijo cuánto es 1/2 + 1/2. «Dos cuartos», contestó él. Y justo después, riéndose solo: «Bueno, que es una pizza entera.» Fue su manera de verlo. A partir de ahí le propuse una costumbre: decir en voz alta «tres octavos más dos octavos» antes de calcular. Al cabo de unas semanas, según me contó su madre, los fallos de denominador casi habían desaparecido. Ignoro si funciona igual con todos los niños, pero con él el cambio llegó cuando el nombre de la parte volvió a significar algo.

Mi opinión, y puedo equivocarme: el algoritmo del común denominador no debería enseñarse antes de que el niño sea capaz de explicar con una tira de papel por qué hace falta. Lo he visto casi siempre al revés.

Minitest: cinco preguntas

1. Una pizza tiene 12 porciones iguales y te comes 5. ¿Qué fracción te has comido?
2. ¿Cuál es mayor, 1/5 o 1/9?
3. ¿Cuánto son los 3/4 de 60?
4. Calcula 4/9 + 2/9.
5. Un alumno escribe 2/3 + 1/6 = 3/9. ¿Dónde está el error y cuál es el resultado correcto?

Soluciones: 1) 5/12. 2) 1/5 (los quintos son más grandes que los novenos). 3) 45 (60 ÷ 4 = 15 y 3 × 15 = 45). 4) 6/9, que se simplifica a 2/3 (el denominador no cambia). 5) Ha sumado numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Hay que escribir 2/3 = 4/6, y entonces 4/6 + 1/6 = 5/6. El 3/9 que salió vale 1/3, menos que 2/3: imposible al añadir algo.

Si fallas dos o más, coge otra vez la tira de papel y rehaz los ejemplos a mano antes de pasar a las fichas. Las fracciones se retienen mal cuando se estudian de golpe la víspera del examen, y diez minutos cada pocos días rinden mucho más. Roediger y Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraron que ponerse a prueba retiene más que releer, y cómo espaciar los repasos lo explicamos en el artículo sobre la repetición espaciada, con la definición en el glosario. Y si las tardes de deberes se hacen cuesta arriba, la guía para ayudar a tu hijo con los deberes se escribió para eso.

Para practicar a tu ritmo, el tutor de IA de EduBoost genera variantes más difíciles y repasa cada error contigo. Te pueden servir las clases particulares de matemáticas para 5º de Primaria y la página de clases de matemáticas online. Si prefieres hablar con una persona, mira las clases particulares.

Vuelta al despacho de orientación

Con Carmen no hice nada más sofisticado que una servilleta y un rotulador. Esa semana rehicimos juntas la suma de fracciones con tiras de papel de colores, y fue ella quien dijo en voz alta, antes de que yo abriera la boca, que los quintos tenían que ser más finos que los tercios. Yo no añadí nada.

Es lo que me llevo de aquella hora: se pierde menos tiempo doblando papel que repitiendo una regla que el niño no ve. Las fracciones explicadas fácil se juegan en el paso de «me sé la regla» a «lo veo». Y tú, cuando tu hijo se equivoca con una fracción, ¿le repites la regla o le pasas unas tijeras?