Ecuaciones de primer grado explicadas: método de la balanza

Álvaro entró en mi despacho de orientación un jueves de noviembre con el cuaderno de matemáticas debajo del brazo y cara de haberlo dado todo por perdido. 2º de ESO, trece años, enviado por su tutora porque «no entiende las ecuaciones». Abrió el cuaderno por la última página. Ponía 4x = 12, y debajo, con su letra apretada, x = 12 − 4 = 8.

Le pregunté por qué había restado. «Porque el 4 pasa al otro lado.» ¿Y cómo pasa? «Cambiado.» Le pedí que comprobara: 4 por 8. Treinta y dos. Silencio. «Pero el profe dice que pasa.»

Álvaro se sabía la frase de memoria. Lo que no tenía era la imagen que hay detrás, y sin esa imagen la frase se aplica a ciegas. Las ecuaciones de primer grado explicadas desde la balanza dejan de ser un truco de magia con números que saltan de un lado a otro.

Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones con una incógnita, normalmente x, sin potencias. Resolverla consiste en encontrar el valor de x que hace que los dos lados valgan lo mismo. Se hace la misma operación en los dos lados, como en una balanza, hasta dejar x sola, y después se comprueba sustituyendo.

Por qué el signo igual engaña a tantos alumnos

Desde 1º de Primaria el niño escribe 3 + 4 = 7. Siempre la operación a la izquierda, siempre el resultado a la derecha. Seis años así le enseñan que «=» quiere decir «y ahora escribe lo que sale», como la tecla de la calculadora. Y una ecuación le pide otra cosa: que lea el signo igual como «los dos lados valen lo mismo».

Eric Knuth, Ana Stephens, Nicole McNeil y Martha Alibali (2006, Journal for Research in Mathematics Education) preguntaron a 177 alumnos estadounidenses de entre 11 y 14 años qué significaba el signo igual. Solo una minoría lo explicó como una relación entre dos lados iguales. Muchos contestaron «el resultado» o «sumar los números». Y los que lo entendían como relación resolvían mejor las ecuaciones, también después de descontar su nivel general en matemáticas medido con pruebas estandarizadas. La referencia está en ERIC.

McNeil y Alibali (2005, Child Development) encontraron algo parecido con niños de 7 a 11 años: los que tenían más asentada la costumbre de «sumar todo y poner el resultado detrás del igual» aprendían menos de una clase sobre ecuaciones. En un segundo experimento, hasta estudiantes universitarios rendían peor cuando antes se les activaba esa costumbre con ejercicios de cálculo rutinario: doi.org/10.1111/j.1467-8624.2005.00884.x.

Nada de esto tiene que ver con ser «de letras» o «de ciencias». Es un hábito que funcionó durante años y que de golpe deja de servir. Lo mismo pasa con las fracciones, donde la regla de «el número mayor es el mayor» falla con 1/8 y 1/4, como conté en las fracciones explicadas fácil. Las dos cosas van muy unidas: Robert Siegler y su equipo (2012, Psychological Science) vieron que lo que un alumno sabe de fracciones y división hacia los 10 años predice su nivel de álgebra años después (doi.org/10.1177/0956797612440101). Es una correlación, no una receta, pero explica por qué el atasco con las ecuaciones casi nunca empieza en 2º de ESO.

La balanza: la única regla que hace falta

Imagina una balanza de dos platos, de las antiguas de mercado. En un plato hay tres bolsas cerradas con el mismo número de canicas cada una, más cinco canicas sueltas. En el otro, veinte canicas sueltas. La balanza está en equilibrio. ¿Cuántas canicas hay en cada bolsa?

Eso es 3x + 5 = 20. Y la forma de resolverlo sale sola si piensas en la balanza:

• Quitas las cinco canicas sueltas del plato izquierdo. Para que siga en equilibrio, quitas cinco del derecho. Queda 3x = 15.
• Tres bolsas pesan quince canicas, así que una bolsa pesa la tercera parte. Divides los dos platos entre 3: x = 5.

La regla entera cabe en una línea: lo que haces en un lado, lo haces en el otro. Sumar, restar, multiplicar o dividir (nunca entre cero) en los dos lados no cambia la solución.

Y el orden importa. 3x + 5 se ha construido en dos pasos: primero multiplicar x por 3, luego sumar 5. Para deshacerlo se va al revés, igual que al descalzarte te quitas primero los zapatos y luego los calcetines: primero restas el 5, después divides entre 3.

En el cuaderno, muchos profesores en España piden que se escriba la operación en los dos lados durante las primeras semanas. Por ejemplo:

3x + 5 − 5 = 20 − 5

Es más lento, sí. También es lo que evita el 12 − 4 de Álvaro.

Una nota para las familias sobre cursos, porque es lo primero que me preguntan. En la mayoría de los institutos las ecuaciones de primer grado se presentan a finales de 1º de ESO y se trabajan a fondo en 2º, con paréntesis, denominadores y problemas de enunciado. Depende del centro y de la comunidad autónoma, así que si tu hijo va antes o después de lo que cuento, no hay motivo de alarma. En la guía de matemáticas de 1º de ESO tienes el mapa de lo que viene antes.

Tres ecuaciones de primer grado resueltas, de la más fácil a la más útil

Ejemplo 1: x + 7 = 12

Una sola operación. A x se le ha sumado 7, así que se resta 7 en los dos lados: x + 7 − 7 = 12 − 7, y queda x = 5.

Comprobación: 5 + 7 = 12. Cuadra.

Muchos alumnos lo resuelven de cabeza («¿qué número más 7 da 12?») y está bien. Lo que conviene es escribir el paso igualmente, porque con 3x + 5 = 20 la cabeza ya no llega tan rápido y el método sí.

Ejemplo 2: 2x − 9 = 7

Dos operaciones. Primero se multiplicó por 2 y después se restó 9. Al revés: sumar 9 en los dos lados y luego dividir entre 2.

2x − 9 + 9 = 7 + 9, o sea 2x = 16. Dividiendo los dos lados entre 2: x = 8.

Comprobación: 2 · 8 − 9 = 16 − 9 = 7. Cuadra.

Aquí aparece el primer resbalón típico: restar 9 en lugar de sumarlo, porque «había un 9» y el reflejo es quitarlo. La balanza lo aclara: si en un plato falta algo (− 9), para equilibrar lo devuelves sumando.

Ejemplo 3: dos alquileres de bicis en Valencia

Este es el que de verdad les gusta a los alumnos, porque se parece a una decisión real. En el paseo marítimo hay dos tiendas de alquiler de bicis. La tienda A cobra 10 € fijos más 4 € por hora. La tienda B no cobra nada fijo, pero pide 6 € por hora. ¿Con cuántas horas cuestan lo mismo?

Si x son las horas, la tienda A cuesta 4x + 10 y la tienda B, 6x. Igualamos: 4x + 10 = 6x.

Ahora hay x en los dos lados. Se restan 4x en ambos: 10 = 2x. Se divide entre 2: x = 5.

Comprobación: tienda A, 4 · 5 + 10 = 30 €. Tienda B, 6 · 5 = 30 €. Con cinco horas da igual. Con menos horas sale más barata B y con más, A. La ecuación no solo da un número: te dice dónde está el punto de cambio.

La trampa de «lo que está sumando pasa restando»

En España casi todos hemos aprendido así: lo que está sumando pasa restando, lo que está multiplicando pasa dividiendo. La frase es correcta. Resume lo de la balanza: si restas 5 en los dos lados de x + 5 = 12, el + 5 desaparece a la izquierda y aparece un − 5 a la derecha. Visto de lejos, parece que el 5 ha cruzado y ha cambiado de signo.

El problema llega cuando la frase se aprende antes que la balanza. Entonces los números «pasan» sin que nadie sepa por qué, y aparecen tres errores que he visto en cuadernos de todos los institutos por los que he pasado:

• El de Álvaro: 4x = 12, y el 4 «pasa restando» en lugar de dividiendo, porque se ha cambiado de lado y algo había que cambiar.
• El del signo perdido: −2x = 10, se divide entre 2 en vez de entre −2, y sale x = 5. La comprobación lo delata, porque −2 · 5 da −10.
• El orden al revés: en 3x + 5 = 20 se divide primero entre 3 solo una parte, y aparece x + 5 = 20/3, con fracciones que nadie pidió.

Mi opinión, y sé que hay compañeros que no la comparten: la frase de «pasa restando» debería prohibirse durante las primeras semanas. Que el alumno escriba la operación en los dos lados hasta que le aburra. Cuando lo vea solo, que use el atajo. Al revés he visto demasiadas veces cómo se atasca.

El curso pasado me escribió a través de EduBoost una madre de Valladolid. Su hija Lucía, en 1º de ESO, había sacado un 3 en el primer control de ecuaciones y lloraba con los deberes porque «los números se mueven y no sé adónde». Le propuse dos cambios pequeños. El primero, escribir durante dos semanas la operación en los dos lados, sin atajos. El segundo, comprobar siempre sustituyendo en la ecuación del enunciado, aunque el ejercicio no lo pidiera. Según me contó la madre, en el siguiente control Lucía sacó un 7 y dejó de borrar tanto. No sé si fue el método, que la segunda tanda de ejercicios era más fácil o que simplemente se tranquilizó, probablemente un poco de todo. Pero la comprobación la sigue haciendo, y eso ya no se le va a olvidar.

Minitest: cinco ecuaciones

1. x + 9 = 15
2. 5x = 35
3. 3x − 4 = 11
4. 7x + 2 = 4x + 14
5. Un alumno escribe: −2x = 10, luego x = 5. ¿Dónde está el error?

Soluciones: 1) x = 6 (restar 9 en los dos lados). 2) x = 7 (dividir entre 5). 3) x = 5 (sumar 4, queda 3x = 15, dividir entre 3). 4) x = 4 (restar 4x en los dos lados, queda 3x + 2 = 14, restar 2, queda 3x = 12, dividir entre 3). 5) Ha dividido entre 2 en vez de entre −2. La solución es x = −5, porque −2 · (−5) = 10.

Si fallas dos o más, vuelve a la balanza y rehaz los ejemplos a mano antes de pasar a las fichas del libro. Y no lo dejes para la víspera del examen: Roediger y Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraron que ponerse a prueba retiene más que releer, y repartir esas pruebas en varios días ayuda todavía más. Cómo organizar esos repasos lo explicamos en el artículo sobre la repetición espaciada, con la definición en el glosario.

Para practicar a tu ritmo, el tutor de IA de EduBoost propone ecuaciones nuevas cada vez y revisa contigo cada paso, sin darte la solución de entrada. Te pueden servir las clases particulares de matemáticas para 2º de ESO y las clases de matemáticas online. Y cuando las ecuaciones ya salgan, los ejercicios resueltos de 3º de ESO son el siguiente escalón.

Lo que pasó con Álvaro

No hice nada sofisticado. Cogí un folio, dibujé una balanza con cuatro bolsas en un plato y doce canicas en el otro, y le pregunté cuántas canicas había en cada bolsa. «Tres», dijo enseguida. Le pedí que lo escribiera como ecuación y que pusiera al lado lo que había hecho con la balanza. Escribió 4x = 12, debajo «÷ 4 en los dos lados», y x = 3. Luego miró su 12 − 4 = 8 de antes y lo tachó él mismo.

Volvió dos semanas después, ya sin el cuaderno debajo del brazo, solo para contarme que en el examen había comprobado todas las ecuaciones. Una le había salido mal y la corrigió gracias a eso.

Las ecuaciones de primer grado se aprenden cuando el alumno deja de mover números y empieza a ver una balanza. Y tú, cuando tu hijo se atasca con una ecuación, ¿le recuerdas la frase o le dibujas los dos platos?