Teorema de Pitágoras explicado fácil (con ejemplos)
Teorema de Pitágoras explicado fácil: la idea, la fórmula, tres ejemplos, el error típico con la hipotenusa y un minitest de 5 preguntas con soluciones.
Educational Coach & Former ESO Guidance Counsellor
Publicado el 6 de octubre de 2026 · Actualizado el 6 de octubre de 2026
Cuando trabajaba de orientadora en Madrid, una alumna de 2º de ESO (la llamaré Lucía) me enseñó orgullosa una ficha entera de Pitágoras con todo bien. Cuentas limpias, raíces limpias. Le pregunté por qué se suman los cuadrados y no los lados. Silencio. Se sabía el procedimiento y no tenía ni idea de qué estaba haciendo. En el examen siguiente apareció una escalera apoyada en una fachada en lugar de un triángulo desnudo, y el procedimiento se vino abajo.
El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. En fórmula, a² + b² = c², con c el lado opuesto al ángulo recto. Con él calculas un lado que falta, y con su recíproco compruebas que una esquina es de verdad un ángulo recto.
La idea que hay detrás de la fórmula: cuadrados, no longitudes
La palabra importante es «cuadrado». Imagina un triángulo rectángulo y dibuja sobre cada lado un cuadrado de verdad, tan ancho como ese lado. El cuadrado de la hipotenusa tiene exactamente la misma área que los otros dos juntos. No hay más misterio. a² es una superficie que puedes colorear con un rotulador, no un número abstracto.
Pruébalo en papel cuadriculado con el triángulo 3-4-5: un cuadrado de 9 casillas, otro de 16 y otro de 25. 9 + 16 = 25. Lo puedes contar con el dedo, y la fórmula deja de ser un conjuro que se recita.
Un apunte histórico, porque en toda clase alguien lo pregunta. Pitágoras probablemente no descubrió la relación. En una tablilla de arcilla babilónica llamada Plimpton 322 (hacia 1800 a. C., hoy en la Universidad de Columbia) aparecen ternas de números que la cumplen. La demostración escrita más antigua que se conserva es de Euclides, en los Elementos, libro I, proposición 47.
Tres ejemplos, del más simple al más útil
Ejemplo 1: se busca la hipotenusa
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Se busca c.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, así que c = √100 = 10 cm.
Quien busca la hipotenusa suma. Y 10 es mayor que 6 y que 8, como tiene que ser.
Ejemplo 2: se busca un cateto
La hipotenusa mide 13 cm y un cateto 5 cm. Se busca el otro cateto b.
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, así que b = √144 = 12 cm.
Aquí se resta, porque la hipotenusa lleva el cuadrado más grande y los otros dos, juntos, tienen que llegar justo a él. Confundir esto es el error más frecuente de todos, y vuelvo sobre ello enseguida.
Ejemplo 3: la escalera en la pared
Una escalera de 5 m se apoya en una pared y su base queda a 1,5 m de ella. ¿Hasta qué altura llega?
La escalera es la hipotenusa, porque está enfrente del ángulo recto que forman suelo y pared. Entonces h² = 5² − 1,5² = 25 − 2,25 = 22,75 y h = √22,75 ≈ 4,77 m.
El «≈» importa. √22,75 no es un número redondo, así que escribes que has redondeado y pones la unidad. Este tipo de problemas con enunciado largo es justo el que cae en los exámenes de ESO, y si quieres más práctica los tienes resueltos paso a paso en nuestros ejercicios resueltos de matemáticas de 3º ESO.
El error que más puntos cuesta
Casi todos los fallos de Pitágoras que he visto en cuadernos de alumnos tienen el mismo origen: se suma siempre, por reflejo. Quien busca un cateto y suma igualmente obtiene en la escalera 27,25, saca la raíz y anuncia que la escalera llega a 5,22 m. Más larga que la propia escalera. Nadie se para a pensarlo.
Una comprobación rápida te salva: la hipotenusa es siempre el lado más largo. Si tu resultado lo contradice, tienes un signo mal en algún sitio.
Dos trampas menores. Olvidar la raíz al final (escribir 100 en vez de 10, que es un área). Y escribir (a + b)² donde querías a² + b², dos cosas muy distintas.
Una madre me escribió el año pasado a través de EduBoost desde Zaragoza. Su hija, de 13 años, «se sabía» Pitágoras y perdía un punto en cada examen. Cuando repasamos juntas los cuadernos, la fórmula estaba bien y el dibujo no: nunca marcaba la hipotenusa antes de empezar. Con un solo hábito bastó, rodear con un círculo el lado opuesto al ángulo recto antes de tocar la calculadora. Dos exámenes después el punto había vuelto.
El recíproco: demostrar que un ángulo es recto
Ahora al revés. Tienes tres longitudes y quieres saber si el triángulo es rectángulo. Busca el lado más largo, elévalo al cuadrado, suma los cuadrados de los otros dos y compara.
Toma 7, 24 y 25. 25² = 625 y 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Son iguales, así que el triángulo es rectángulo. Con 4, 5 y 7: 4² + 5² = 41, pero 7² = 49. No coinciden, luego no hay ángulo recto.
De ahí sale el truco de obra. Un triángulo 3-4-5 hecho con cuerda da una esquina perfecta, sin transportador.
Minitest: cinco preguntas
- Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
- La hipotenusa mide 10 cm y un cateto 6 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
- ¿Es rectángulo un triángulo de lados 5, 12 y 13?
- ¿Es rectángulo un triángulo de lados 4, 5 y 7?
- La pantalla de un portátil mide 40 cm de ancho y 30 cm de alto. ¿Cuánto mide su diagonal?
Soluciones: 1) 15 cm (81 + 144 = 225). 2) 8 cm (100 − 36 = 64). 3) Sí (25 + 144 = 169 = 13²). 4) No (16 + 25 = 41, no 49). 5) 50 cm (1600 + 900 = 2500).
Si fallas dos o más, prueba a explicar en voz alta, sin jerga, por qué en el ejemplo 2 se resta. Si no te sale, ahí está el hueco. Para que se quede hasta el examen, repasar poco y a menudo gana a empollar la víspera: un problema de Pitágoras cada tres o cuatro días rinde más que diez seguidos la noche anterior. Roediger y Karpicke (2006, Washington University, doi.org/10.1111/j.1467-9280.2006.01693.x) mostraron que ponerse a prueba retiene más que releer, y cómo espaciar los repasos lo explicamos en el artículo sobre la repetición espaciada, con la definición en el glosario. Si el examen está cerca, mira también cómo estudiar un examen sin estudiar demasiado.
Para practicar a tu ritmo, el tutor de IA genera variantes más difíciles y repasa cada error contigo. Te pueden servir las clases particulares de matemáticas para 3º ESO y la página de clases de matemáticas online. Si prefieres a una persona, mira las clases particulares.
Todo Pitágoras se reduce a una pregunta que haces antes de cada cuenta: ¿dónde está el ángulo recto? Lo demás sale solo. Y en tu hijo o en tu hija, ¿qué falla más, la fórmula o el dibujo?
