Équation du premier degré : la méthode de la balance

Je regarde des élèves de 4e résoudre une équation du premier degré depuis vingt ans, et la scène se rejoue presque à l'identique d'une classe à l'autre. Reims, un jeudi matin d'inspection : je suis au fond, carnet fermé. Le professeur écrit 3x + 5 = 20 et envoie Inès au tableau. Elle écrit sans hésiter 3x = 20 + 5, puis x = 25/3.

Le professeur lui demande pourquoi « plus 5 ». « Parce que le 5 passe de l'autre côté. » Il insiste : « Et quand un nombre passe de l'autre côté, il fait quoi ? » Deux secondes de silence. « Il change de signe... » Elle efface, écrit 20 − 5, trouve 15, puis 5. Seule, en trente secondes.

Inès n'était pas perdue. Elle connaissait la règle par cœur et la jouait comme un rituel, sans savoir ce que le rituel protège. Tout le sujet est là.

Résoudre une équation du premier degré, c'est trouver la valeur de l'inconnue (souvent x) qui rend l'égalité vraie. Le signe égal dit que les deux côtés pèsent pareil, comme une balance à l'équilibre : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre, en défaisant les opérations dans l'ordre inverse jusqu'à isoler x.

Selon les manuels et les classes, le programme propose des équations très simples dès la 5e, les travaille vraiment en 4e et les reprend en 3e. Autant les comprendre une fois pour toutes.

Équations du premier degré : le signe égal, première idée reçue

Depuis le CP, l'enfant lit 3 + 4 = 7 de gauche à droite : on calcule, la réponse vient après le signe. Le signe égal devient un bouton « donne-moi le résultat ». Puis arrive 3x + 5 = 20, avec des nombres des deux côtés, et le bouton ne marche plus.

Un signe égal lu comme un bouton « réponse »

Eric Knuth, Ana Stephens, Nicole McNeil et Martha Alibali (2006, Journal for Research in Mathematics Education) ont demandé à 177 collégiens américains, de la sixième à la huitième année scolaire (par l'âge, nos 6e, 5e et 4e), de définir le signe égal avec leurs mots. Chez les élèves de sixième et de huitième année, la majorité a donné une définition « opérationnelle » : « additionne les nombres », « la réponse ». En septième année, les définitions « la même chose que » dépassaient de peu les opérationnelles, sans atteindre la moitié des élèves.

Les élèves qui voyaient le signe égal comme une relation réussissaient mieux les équations. Le lien restait visible quand les auteurs tenaient compte du niveau général en maths, sur un sous-groupe de 65 élèves dont ils connaissaient les résultats à un test standardisé. L'article est ici : doi.org/10.2307/30034852.

Corrélation, un seul collège du Midwest : je ne vendrais pas ça comme une loi. Mais ça colle avec ce que je vois sur les copies d'équations. Même mécanisme que pour les fractions, d'ailleurs : une règle qui a marché pendant des années sert encore, au mauvais endroit (nous en parlons dans l'article sur les fractions expliquées simplement).

Une équation, votre enfant en a déjà résolu en CE1

3 + □ = 7. La case vide, c'est x avec un déguisement. L'élève de CE1 qui écrit 4 résout déjà une équation du premier degré, sans le savoir et sans un seul mot de vocabulaire. La difficulté de la 4e vient donc moins de la notion que de l'écriture : une lettre à la place de la case, et des opérations qui s'empilent autour.

La méthode de la balance pour résoudre une équation

Trois sacs opaques identiques et 5 jetons sur un plateau, 20 jetons sur l'autre, la balance est à l'équilibre. On retire 5 jetons de chaque plateau : elle reste en équilibre, il y a maintenant 3 sacs d'un côté et 15 jetons de l'autre. On partage les 15 jetons entre les 3 sacs : 5 chacun. Voilà l'équation 3x + 5 = 20 résolue, et x = 5.

Quatre gestes suffisent, dans cet ordre :

1. Lire l'égalité comme une balance. Deux côtés, même poids, rien de plus.
2. Défaire dans l'ordre inverse. On a mis les chaussettes avant les chaussures, on retire les chaussures d'abord. Dans 3x + 5, x a été multiplié par 3 puis augmenté de 5 : on retire donc 5, puis on divise par 3.
3. Rassembler les x d'un seul côté quand il y en a des deux.
4. Vérifier en remplaçant x dans l'équation de départ. Toujours, même quand on est sûr.

Trois exemples, du plus simple au plus utile

Exemple 1 : x + 7 = 12. Un sac et 7 jetons contre 12 jetons. On retire 7 de chaque côté : x + 7 − 7 = 12 − 7, donc x = 5. Vérification : 5 + 7 = 12.

Exemple 2 : 2x − 9 = 7. Ici l'équation montre un « moins », et on va pourtant ajouter : on défait toujours l'opération qu'on voit. On ajoute 9 des deux côtés, 2x = 16, puis on divise par 2 des deux côtés : x = 8. Vérification : 2 × 8 − 9 = 16 − 9 = 7.

Exemple 3 : deux formules de location de vélos. La formule A coûte 10 € de départ plus 4 € par heure, la formule B coûte 6 € par heure sans frais de départ. À partir de combien d'heures x coûtent-elles le même prix ? On écrit 4x + 10 = 6x. Les x sont des deux côtés : on retire 4x de chaque plateau, il reste 10 = 2x, donc x = 5. Vérification : A donne 10 + 4 × 5 = 30 €, B donne 6 × 5 = 30 €. Avant 5 heures, B est moins chère (à 3 heures : 18 € contre 22 €) ; après, c'est A. Cette équation, avec un vrai problème derrière, est celle qui parle le mieux aux élèves de 4e.

À éviter : le raccourci appris trop tôt

Mon avis, et je l'assume : « je change de côté, je change de signe » ne devrait jamais être la première chose qu'un élève apprend sur les équations.

Le raccourci est exact. Il résume ce qui se passe quand on écrit « − 5 » des deux côtés, sans l'écrire. Seulement, l'élève qui le reçoit en premier retient la phrase, pas la raison, et la phrase se déclenche de travers : un signe oublié ici, un signe changé pour rien là. Quelques erreurs d'équation qui reviennent sur les copies :

• Changer le signe d'un nombre qui reste du même côté.
• Oublier de faire la même chose à droite : x + 7 = 12 devenant x = 12.
• Soustraire quand il fallait diviser : 2x = 16 donnant x = 14.
• Ne pas vérifier, alors que ça prend dix secondes.

Une maman m'a écrit après une réunion que j'animais à Metz il y a deux ans. Son fils Hugo, 13 ans, en 4e, « connaissait sa règle » et perdait pourtant des points à chaque évaluation sur les équations. Nous avons regardé trois copies ensemble : il changeait le signe parfois, l'oubliait d'autres fois, sans logique visible. On a retiré la phrase et ajouté un geste : à droite de chaque ligne, un trait vertical et l'opération faite des deux côtés, par exemple | − 5 puis | ÷ 3. Il a râlé (« c'est écrire en plus »), puis il a continué. Un mois après, sa mère m'a dit que les erreurs de signe avaient disparu. Un cas ne fait pas une loi, mais ce qu'il faisait avant ne marchait pas.

Quand la balance coince

Deux types d'équation font hésiter, même ceux qui ont compris. D'abord le x négatif : dans −x = 4, la balance dit que l'opposé de x vaut 4, donc x = −4 (vérification : l'opposé de −4 est bien 4). Ensuite le x divisé : dans x/3 = 4, on défait la division en multipliant par 3 des deux côtés, donc x = 12. Les élèves qui ont bien intégré « défaire dans l'ordre inverse » s'en sortent sans nouvelle règle.

Et le raccourci, alors ? Je ne l'interdis pas. Quand l'élève écrit sa marge sans y penser, il peut sauter l'écriture et garder la logique : c'est la même chose, sans l'encre. Il vient après. Combien de temps après dépend vraiment de l'enfant, et ça ne se décrète pas par le calendrier du chapitre.

Ce que disent les recherches

Je reviens à Robert Siegler et ses collègues (2012, Psychological Science), déjà cités dans l'article sur les fractions. En suivant de grandes bases de données américaines et britanniques, ils ont montré que ce que savent les élèves du primaire sur les fractions et la division prédit leurs résultats en algèbre et en maths au lycée, cinq ou six ans plus tard, y compris en tenant compte du QI, de la mémoire de travail et du milieu familial. Article : doi.org/10.1177/0956797612440101. C'est encore une corrélation.

Knuth et ses collègues, eux, décrivent l'algèbre comme un « gatekeeper », une porte d'entrée vers la suite des études et de l'emploi. Les équations de 4e sont le premier verrou de cette porte. Autant que l'élève le franchisse en comprenant plutôt qu'en récitant.

Mini-quiz : cinq questions pour vérifier

1. Résolvez x + 9 = 21.
2. Résolvez 5x = 40.
3. Résolvez 3x + 4 = 19.
4. Résolvez 4x − 7 = 2x + 9.
5. Un élève écrit 2x + 6 = 14, puis 2x = 14 + 6 = 20, puis x = 10. Où est l'erreur, et quelle est la bonne solution ?

Réponses : 1) x = 12. 2) x = 8 (on divise par 5 des deux côtés). 3) 3x = 15, donc x = 5. 4) On retire 2x de chaque côté : 2x − 7 = 9, puis 2x = 16, donc x = 8 ; vérification : 4 × 8 − 7 = 25 et 2 × 8 + 9 = 25. 5) Il a ajouté 6 au lieu de le retirer : 2x = 14 − 6 = 8, donc x = 4. Sa solution ne passe pas la vérification, car 2 × 10 + 6 = 26 et non 14.

Si deux réponses coincent, revenez à la balance avec des jetons, et refaites les exemples à la main avant de passer aux exercices. Pour que ça tienne, dix minutes tous les deux ou trois jours valent mieux qu'une heure la veille du contrôle : c'est le principe de la répétition espacée. Autre astuce : demandez à l'élève d'expliquer à voix haute ce qu'il fait des deux côtés à chaque ligne, comme dans la technique de Feynman. Celui qui sait le dire sait le faire.

Pour s'entraîner à son rythme, le tuteur IA d'EduBoost en maths pour la 4e propose des exercices de difficulté croissante et reprend chaque erreur. Pour échanger avec un professeur, nos cours particuliers de maths restent l'option la plus directe. Et les équations reviennent au brevet : l'article sur les exercices de maths essentiels du brevet en montre quelques-unes.

Retour à la classe de Reims

Le professeur n'a pas repris la règle d'Inès. Il a dessiné une balance au tableau, avec trois sacs et des jetons, et il a posé la même question à chaque exercice pendant trois semaines : « Qu'est-ce que tu fais des deux côtés ? » Inès a fini par écrire | − 5 dans sa marge, sans qu'on le lui demande.

Ce que je retiens : une équation du premier degré s'apprend quand l'élève sait dire ce qu'il fait des deux côtés. La vitesse et les raccourcis viennent ensuite, et ils tiennent beaucoup mieux. La prochaine fois que votre enfant résout une équation, ne regardez pas le résultat. Demandez-lui seulement ce qu'il fait des deux côtés.